int_0^(pi/6) (3sin3x + 2 cos^2 (x/2)) dx  এর মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, \( \int_0^{\frac{\pi}{6}} (3\sin 3x + 2\cos^2(\frac{x}{2})) dx \)

আমরা জানি, \( \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 \)। সুতরাং, \( 2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta \)।

অতএব, \( 2\cos^2(\frac{x}{2}) = 1 + \cos x \)

সুতরাং, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_0^{\frac{\pi}{6}} (3\sin 3x + 1 + \cos x) dx \)

= \( \int_0^{\frac{\pi}{6}} 3\sin 3x \, dx + \int_0^{\frac{\pi}{6}} 1 \, dx + \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos x \, dx \)

এখন, প্রতিটি অংশ আলাদাভাবে সমাধান করি:

\( \int_0^{\frac{\pi}{6}} 3\sin 3x \, dx = 3 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin 3x \, dx = 3 \left[ -\frac{\cos 3x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} = -[\cos 3x]_0^{\frac{\pi}{6}} \)

= \( -(\cos \frac{\pi}{2} - \cos 0) = -(0 - 1) = 1 \)

\( \int_0^{\frac{\pi}{6}} 1 \, dx = [x]_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6} \)

\( \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos x \, dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{6}} = \sin \frac{\pi}{6} - \sin 0 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \)

সুতরাং, পুরো ইন্টিগ্রালটির মান:

\( 1 + \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{9 + \pi}{6} = \frac{1}{6}(\pi + 9) \)

অতএব, \( \int_0^{\frac{\pi}{6}} (3\sin 3x + 2\cos^2(\frac{x}{2})) dx = \frac{1}{6}(\pi + 9) \)

সুতরাং নির্ণেয় মান \( \frac{1}{6}(\pi + 9) \)। 🎉