f(x) = x/3 এবং g(x) = x² হলে—

1.  intf(x)dx=x^2/6+c
2.  int(-1)/(1+g(x))=-cotx+c
3. g'' (0) = 2

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া তথ্য অনুযায়ী: f(x) = x/3 g(x) = x² --- **i. \(\int f(x) \, dx = \frac{x^2}{6} + c\)** প্রথমত, \(\int f(x) \, dx = \int \frac{x}{3} \, dx\) \[ \int \frac{x}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int x \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2}{2} + c = \frac{x^2}{6} + c \] **সুতরাং, i সঠিক।** --- **ii. \(\int \frac{-1}{1 + g(x)} \, dx = - \cot x + c\)** এখানে, \(\int \frac{-1}{1 + g(x)} \, dx = \int \frac{-1}{1 + x^2} \, dx\) \[ \int \frac{-1}{1 + x^2} \, dx = - \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = - \arctangent x + c \] অর্থাৎ, \[ \int \frac{-1}{1 + g(x)} \, dx = - \arctangent x + c \] অতএব, \( - \cot x + c \) নয়, বরং \( - \arctangent x + c \). **সুতরাং, ii ভুল।** --- **iii. \(g''(0) = 2\)** আমরা জানি, \[ g(x) = x^2 \Rightarrow g'(x) = 2x \Rightarrow g''(x) = 2 \] অতএব, \[ g''(0) = 2 \] **সুতরাং, iii সঠিক।** --- **উত্তর: "i ও iii"** ```html

প্রথমত, i সঠিক কারণ:

∫ f(x) dx = ∫ (x/3) dx = (1/3) ∫ x dx = (1/3) * (x^2 / 2) + c = x^2 / 6 + c

দ্বিতীয়ত, ii ভুল কারণ:

∫ (-1) / (1 + g(x)) dx = ∫ (-1) / (1 + x^2) dx = - ∫ 1 / (1 + x^2) dx = - arctangent x + c

এবং এটি - cot x + c নয়। তৃতীয়ত, iii সঠিক কারণ:

g(x) = x^2
g'(x) = 2x
g''(x) = 2
=> g''(0) = 2

অতএব, সঠিক উত্তর: "i ও iii"

```