int(dx)/(1+e^x)=  কত?  

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: \[ \int \frac{dx}{1+e^x} \] আমরা \(e^x\) এর পরিবর্তে \(u\) ধরি অথবা অন্য কিছু প্রতিস্থাপন করি যাতে ইন্টিগ্রেশনটি সহজ হয়। এক্ষেত্রে, আমরা একটু ভিন্নভাবে শুরু করি: \[ \int \frac{dx}{1+e^x} = \int \frac{1+e^x - e^x}{1+e^x} dx = \int \left(1 - \frac{e^x}{1+e^x}\right) dx \] এখন আমরা আলাদাভাবে ইন্টিগ্রেশন করতে পারি: \[ \int 1 dx - \int \frac{e^x}{1+e^x} dx \] প্রথম ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ \int 1 dx = x + C_1 \] দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটির জন্য, আমরা \(1+e^x = v\) ধরি। তাহলে, \(e^x dx = dv\)। সুতরাং, \[ \int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int \frac{dv}{v} = \ln|v| + C_2 = \ln(1+e^x) + C_2 \] তাহলে, সম্পূর্ণ ইন্টিগ্রালটি হবে: \[ x - \ln(1+e^x) + C \] যেখানে \(C = C_1 - C_2\)। এখন, আমরা উত্তরটিকে প্রদত্ত উত্তরের সাথে মেলানোর চেষ্টা করি: প্রদত্ত উত্তর: \(- \log(1+e^{-x})\) আমরা আমাদের উত্তরটিকে এভাবে লিখতে পারি: \[ x - \ln(1+e^x) = x - \ln(e^x(e^{-x}+1)) = x - \ln(e^x) - \ln(1+e^{-x}) = x - x - \ln(1+e^{-x}) = -\ln(1+e^{-x}) \] সুতরাং, \[ \int \frac{dx}{1+e^x} = -\ln(1+e^{-x}) + C \] অতএব, নির্ণেয় সমাধান: \[ -\ln(1+e^{-x}) + C \] ✅