int_0^e log_e xdx=i হলে, i=?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: আমরা জানি, \( \int log_e x dx = x log_e x - x + C \) সুতরাং, \( \int_0^e log_e x dx = [x log_e x - x]_0^e \) এখন, \( [x log_e x - x]_0^e = (e log_e e - e) - \lim_{x \to 0^+} (x log_e x - x) \) আমরা জানি, \( log_e e = 1 \) তাহলে, \( (e log_e e - e) = (e \cdot 1 - e) = e - e = 0 \) এখন, \( \lim_{x \to 0^+} (x log_e x - x) \) এর মান বের করতে হবে। \( \lim_{x \to 0^+} (x log_e x - x) = \lim_{x \to 0^+} x (log_e x - 1) \) এখানে, \( \lim_{x \to 0^+} x = 0 \) এবং \( \lim_{x \to 0^+} log_e x = -\infty \) সুতরাং, এটি \( 0 \cdot (-\infty) \) আকারের একটি indeterminate form। আমরা \( \lim_{x \to 0^+} x log_e x \) এর মান বের করার জন্য L'Hopital's rule ব্যবহার করতে পারি। \( \lim_{x \to 0^+} x log_e x = \lim_{x \to 0^+} \frac{log_e x}{\frac{1}{x}} \) এখানে, এটি \( \frac{-\infty}{\infty} \) আকারের একটি indeterminate form। L'Hopital's rule ব্যবহার করে, \( \lim_{x \to 0^+} \frac{log_e x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \) তাহলে, \( \lim_{x \to 0^+} x (log_e x - 1) = \lim_{x \to 0^+} x log_e x - \lim_{x \to 0^+} x = 0 - 0 = 0 \) সুতরাং, \( \int_0^e log_e x dx = (e log_e e - e) - \lim_{x \to 0^+} (x log_e x - x) = 0 - 0 = 0 \) অতএব, \( i = 0 \) 🥳