\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx \) এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx \) এর মান কত?

উত্তর: \( \frac{\pi}{4} \)

সমাধান:

প্রথমে, আমরা জানি যে,
\[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] এবং এই সমন্বয়ে ইন্টিগ্রালটি পুনঃলিখা যায়:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx \]

এখন, ইন্টিগ্রালটি বিভক্ত করি:

\[ = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx \]

প্রথম ইন্টিগ্রাল:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} \]

দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin (\pi)}{2} - \frac{\sin 0}{2} = 0 - 0 = 0 \]

অতএব, মূল ইন্টিগ্রালটি হয়:

\[ \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \times 0 = \frac{\pi}{4} \]

অতএব,

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \boxed{\frac{\pi}{4}} \)