f(x) = √x হলে—

1.  f'(x)=1/(2sqrtx)
2.  int_0^1f(x)dx=2/3
3.  int(sec^2x)/f(tanx)dx=1/2sqrttanx+c

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশন: \(f(x) = \sqrt{x}\)

1. প্রথমটি: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
2. দ্বিতীয়টি: \(\int_0^1 f(x) dx = \frac{2}{3}\)
3. তৃতীয়টি: \(\int \frac{\sec^2 x}{f(\tan x)} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\tan x} + c \)

তালিকা (i):

প্রথম ডেরিভেট: \[ f(x) = x^{1/2} \] \[ f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] অর্থাৎ, এটি সঠিক।

তালিকা (ii):

ইন্টিগ্রাল: \[ \int_0^1 \sqrt{x} dx = \int_0^1 x^{1/2} dx \] \[ = \left[\frac{2}{3} x^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3} (1)^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^{3/2} = \frac{2}{3} \] অর্থাৎ, এটি সঠিক।

তালিকা (iii):

প্রস্তাবিত সমাধান: \[ \int \frac{\sec^2 x}{f(\tan x)} dx \] চিহ্নিত কর: \[ t = \tan x \Rightarrow dt = \sec^2 x dx \] তাহলে, \[ dx = \frac{dt}{\sec^2 x} \] সুতরাং, \[ \int \frac{\sec^2 x}{f(\tan x)} dx = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{t}} dx \] এবং \[ \sec^2 x dx = dt \] অর্থাৎ, \[ \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{t}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt \] \[ = \int t^{-\frac{1}{2}} dt = 2 t^{1/2} + c = 2 \sqrt{t} + c \] অতএব, \[ \int \frac{\sec^2 x}{f(\tan x)} dx = 2 \sqrt{\tan x} + c \] প্রশ্নে দেয়া সমাধান: \[ \frac{1}{2} \sqrt{\tan x} + c \] সুতরাং, এই সমাধানটি সঠিক নয়। সঠিক সমাধান হলো: \[ 2 \sqrt{\tan x} + c \]

উপসংহার:

তালিকা (i) ও (ii) সঠিক, তবে (iii) ভুল। তাই, সঠিক উত্তর হলো:

উত্তর: "i ও ii"