int_0^2x^3/2 dx  = কত ?

প্রশ্ন: \(\int_0^2 x^{3/2} \, dx\) কত?

উত্তর: 2

সমাধান:

\[
\int_0^2 x^{3/2} \, dx
\]

প্রথমে, ইন্টিগ্রালটির জন্য সমাধান করুন:


\[
\int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{যেখানে } n \neq -1
\]


এখানে, \( n = \frac{3}{2} \), সুতরাং:

\[
\int x^{3/2} \, dx = \frac{x^{(3/2) + 1}}{(3/2) + 1} + C = \frac{x^{5/2}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} x^{5/2} + C
\]


এখন, সীমা 0 থেকে 2 পর্যন্ত ইন্টিগ্রেট করব:

\[
\left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_0^2 = \frac{2}{5} \left( 2^{5/2} - 0^{5/2} \right)
\]

এখানে,  \( 2^{5/2} \) মানে:


\[
2^{5/2} = \left( 2^{1/2} \right)^5 = (\sqrt{2})^5 = (\sqrt{2})^4 \times \sqrt{2} = (2^2) \times \sqrt{2} = 4 \times \sqrt{2}
\]


সুতরাং,

\[
\frac{2}{5} \times 4 \times \sqrt{2} = \frac{8}{5} \sqrt{2}
\]

অতএব, একাউন্টের মান হল:

\[
\boxed{\frac{8}{5} \sqrt{2}}
\]


তবে, প্রশ্নে উত্তর হিসেবে '2' দেওয়া হয়েছে। সম্ভবত, প্রশ্নের মান বা অংকটি সরলীকরণ বা অন্য কোনও ধরণের সমাধান বোঝানো হয়েছে। তবে, গণনাটির সঠিক মান এই। যদি মানটি মানতে হয়, তাহলে একাউন্টের ফলাফল: \(\frac{8}{5} \sqrt{2}\) বা আনুমানিক \(2.26\)। তবে, প্রশ্নের উত্তর হিসেবে '2' দেওয়া হয়েছে বলে মনে হচ্ছে, সম্ভবত সেটি অনুকূল বা কাছাকাছি মান।