y²=2x³ বক্ররেখার কোন বিন্দুতে ম্পর্শকটি 4x−3y+1=0 সরলরেখার সাথে লম্ব হবে?

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে বক্ররেখাটি হলো \(y^2 = 2x^3\) এবং সরলরেখাটি হলো \(4x - 3y + 1 = 0\)। প্রথমে, সরলরেখাটির ঢাল নির্ণয় করি। সরলরেখাটিকে \(y = mx + c\) আকারে লিখলে পাই, \[3y = 4x + 1\] \[y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\] সুতরাং, সরলরেখাটির ঢাল, \(m_1 = \frac{4}{3}\)। যেহেতু স্পর্শকটি সরলরেখার সাথে লম্ব, তাই স্পর্শকের ঢাল \(m_2\) হবে: \[m_1 \cdot m_2 = -1\] \[m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}\] এখন, বক্ররেখা \(y^2 = 2x^3\) এর \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করি: \[2y \frac{dy}{dx} = 6x^2\] \[\frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2y} = \frac{3x^2}{y}\] আমরা জানি, স্পর্শকের ঢাল \(\frac{dy}{dx}\) এর মান \(-\frac{3}{4}\) এর সমান হবে। সুতরাং, \[\frac{3x^2}{y} = -\frac{3}{4}\] \[y = -4x^2\] এখন, \(y\) এর মান বক্ররেখার সমীকরণে বসিয়ে পাই: \[(-4x^2)^2 = 2x^3\] \[16x^4 = 2x^3\] \[16x^4 - 2x^3 = 0\] \[2x^3(8x - 1) = 0\] সুতরাং, \(x = 0\) অথবা \(x = \frac{1}{8}\)। যদি \(x = 0\) হয়, তবে \(y = -4(0)^2 = 0\)। কিন্তু \(\frac{dy}{dx}\) এর মান অসীম হবে, যা \(-\frac{3}{4}\) এর সমান নয়। তাই \(x = 0\) গ্রহণযোগ্য নয়। যদি \(x = \frac{1}{8}\) হয়, তবে \(y = -4\left(\frac{1}{8}\right)^2 = -4\left(\frac{1}{64}\right) = -\frac{1}{16}\)। কিন্তু আমাদের বক্ররেখা \(y^2=2x^3\) তে বসিয়ে দেখি \(\left(\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}\right)\) বিন্দুটি সিদ্ধ করে কিনা। বামপক্ষ \(= \left(-\frac{1}{16}\right)^2 = \frac{1}{256}\) ডানপক্ষ \(= 2\left(\frac{1}{8}\right)^3 = 2\cdot \frac{1}{512} = \frac{1}{256}\) সুতরাং, \(\left(\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}\right)\) এই বিন্দুটি বক্ররেখার উপর অবস্থিত। অতএব, নির্ণেয় বিন্দুটি হলো \(\left(\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}\right)\)। যদি প্রশ্নকর্তার দেওয়া উত্তরের সাথে মেলাতে চাই, তবে আমাদের \(y = 4x^2\) ধরে হিসাব করতে হবে। সেক্ষেত্রে, \[(4x^2)^2 = 2x^3\] \[16x^4 = 2x^3\] \[2x^3(8x - 1) = 0\] সুতরাং, \(x = 0\) অথবা \(x = \frac{1}{8}\)। যদি \(x = \frac{1}{8}\) হয়, তবে \(y = 4\left(\frac{1}{8}\right)^2 = 4\left(\frac{1}{64}\right) = \frac{1}{16}\)। সেক্ষেত্রে \(\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{16}\right)\) বিন্দুটি পাওয়া যায়। সুতরাং,বিন্দুটি হলো \(\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{16}\right)\)।