একটি ত্রিভূজের শীর্ষবিন্দুসমূহের পোলার স্থানাংক যথাক্রমে পোল,(sqrt2, pi/4), (2, pi/3) হলে ত্রিভূজটির ক্ষেত্রফল বর্গ এককে হবে-

Explanation:

Another Explanation (5): একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর পোলার স্থানাঙ্ক \( (0,0) \), \( (\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}) \) এবং \( (2, \frac{\pi}{3}) \)। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে পরিবর্তন করি: প্রথম বিন্দুটি পোল \( (0,0) \), তাই \( (x_1, y_1) = (0,0) \) দ্বিতীয় বিন্দু \( (\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}) \) : \( x_2 = \sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 \) \( y_2 = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 \) সুতরাং, \( (x_2, y_2) = (1, 1) \) তৃতীয় বিন্দু \( (2, \frac{\pi}{3}) \) : \( x_3 = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \) \( y_3 = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) সুতরাং, \( (x_3, y_3) = (1, \sqrt{3}) \) এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করি: ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \) \( = \frac{1}{2} |0(1 - \sqrt{3}) + 1(\sqrt{3} - 0) + 1(0 - 1)| \) \( = \frac{1}{2} |0 + \sqrt{3} - 1| \) \( = \frac{1}{2} |\sqrt{3} - 1| \) \( = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \) ∵ \( \sqrt{3} > 1 \) অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \) বর্গ একক। 🎉