প্রথম চতুর্থাংশে x²+y²=1 এবং 4x²+y²=4 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

প্রশ্ন: প্রথম চতুর্থাংশে \(x^2+y^2=1\) এবং \(4x^2+y^2=4\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:

\(x^2 + y^2 = 1\) একটি বৃত্তের সমীকরণ, যার কেন্দ্র \( (0, 0) \) এবং ব্যাসার্ধ \( 1 \)।

\(4x^2 + y^2 = 4\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ। এটিকে \(\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1\) আকারে লেখা যায়, যার কেন্দ্র \( (0, 0) \) এবং \( a = 1, b = 2 \)।

প্রথম চতুর্ভাগে, বৃত্ত এবং উপবৃত্তের ছেদ বিন্দু বের করতে হবে।

বৃত্তের সমীকরণ থেকে \( y^2 = 1 - x^2 \) পাওয়া যায়।

এই মান উপবৃত্তের সমীকরণে বসালে:

\(4x^2 + 1 - x^2 = 4\)

\(3x^2 = 3\)

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm 1\)

যেহেতু আমরা প্রথম চতুর্ভাগে আছি, তাই \( x = 1 \)।

অতএব, \( y^2 = 1 - 1^2 = 0 \), সুতরাং \( y = 0 \)।

সুতরাং, ছেদ বিন্দুটি হলো \( (1, 0) \)।

এখন, প্রথম চতুর্ভাগে উপবৃত্ত এবং বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

ক্ষেত্রফল = \(\int_{0}^{1} (y_{উপবৃত্ত} - y_{বৃত্ত}) dx \)

উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে, \( y = \sqrt{4 - 4x^2} = 2\sqrt{1 - x^2} \)

বৃত্তের সমীকরণ থেকে, \( y = \sqrt{1 - x^2} \)

ক্ষেত্রফল = \(\int_{0}^{1} (2\sqrt{1 - x^2} - \sqrt{1 - x^2}) dx \)

= \(\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx \)

আমরা জানি, \(\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C \)

সুতরাং, \(\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}sin^{-1}(x)]_{0}^{1} \)

= \( (\frac{1}{2}\sqrt{1 - 1} + \frac{1}{2}sin^{-1}(1)) - (\frac{0}{2}\sqrt{1 - 0} + \frac{1}{2}sin^{-1}(0)) \)

= \( (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (0 + 0) \)

= \(\frac{\pi}{4}\) বর্গ একক। 🎉

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(\frac{\pi}{4}\) বর্গ একক।