tanx+tan3x = 0 এর সমাধান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\tan x + \tan 3x = 0\) এর সমাধান কোনটি? সমাধান: প্রথমে, সমীকরণটি লিখি: \[ \tan x + \tan 3x = 0 \] এখানে, \(\tan 3x\) এর মান জানি যে: \[ \tan 3x = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x} \] তাহলে, সমীকরণটি হয়: \[ \tan x + \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x} = 0 \] উভয় পক্ষকে সাধারণ আকারে আনতে: \[ \left( \tan x \right) \left( 1 - 3 \tan^2 x \right) + 3 \tan x - \tan^3 x = 0 \] বিভাজন: \[ \tan x (1 - 3 \tan^2 x) + 3 \tan x - \tan^3 x = 0 \] বিন্যাস: \[ \tan x - 3 \tan^3 x + 3 \tan x - \tan^3 x = 0 \] সংহত করি: \[ (\tan x + 3 \tan x) - (3 \tan^3 x + \tan^3 x) = 0 \] \[ 4 \tan x - 4 \tan^3 x = 0 \] প্রায়োগ: \[ 4 \tan x (1 - \tan^2 x) = 0 \] অর্থাৎ: \[ 4 \tan x = 0 \quad \text অথবা \quad 1 - \tan^2 x = 0 \] প্রথম সমাধান: \[ \tan x = 0 \] \[ x = n\pi, \quad n \in Z \] দ্বিতীয় সমাধান: \[ 1 - \tan^2 x = 0 \Rightarrow \tan^2 x = 1 \] \[ \tan x = \pm 1 \] তাহলে, \[ \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + n\pi \] \[ \tan x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + n\pi \] সুতরাং, সমাধানসমূহ হলো: \[ x = n\pi, \quad x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad x = -\frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in Z \] তাই, মূল সমাধান সমূহের মধ্যে উল্লেখযোগ্যটি হলো: \[ x = n \frac{\pi}{4} \] অর্থাৎ, **সব সমাধান হলো:** x = n \frac{\pi}{4}, \quad n \in Z