int_0^2|x-1|dx=?

সমাধান:

আমরা জানি, \( |x-1| = \begin{cases} x-1, & x \geq 1 \\ 1-x, & x < 1 \end{cases} \) 🤔

সুতরাং, \( \int_0^2 |x-1| dx \) কে দুইটি অংশে ভাগ করা যায়:
\( \int_0^2 |x-1| dx = \int_0^1 (1-x) dx + \int_1^2 (x-1) dx \) 🤩

প্রথম অংশ: \( \int_0^1 (1-x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{2} \) 🥳

দ্বিতীয় অংশ: \( \int_1^2 (x-1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_1^2 = \left( \frac{4}{2} - 2 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = (2-2) - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \) 😎

তাহলে, \( \int_0^2 |x-1| dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \) 🤓

অতএব, \( \int_0^2 |x-1| dx = 1 \) 👍