int_0^1x^3e^(x^(2))dx=? 

Explanation:

Another Explanation (5):

সমাধান

ধরি, \(I = \int_0^1 x^3 e^{x^2} dx\) আমরা \(x^2 = t\) প্রতিস্থাপন করি। সুতরাং, \(2x dx = dt\) অথবা \(x dx = \frac{1}{2} dt\)। যখন \(x = 0\), তখন \(t = 0\)। যখন \(x = 1\), তখন \(t = 1\)। সুতরাং, \(I = \int_0^1 x^2 e^{x^2} x dx = \int_0^1 t e^t \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_0^1 t e^t dt\) এখন, আমরা আংশিক সমাকলন ব্যবহার করি: \(\int u dv = uv - \int v du\) এখানে, \(u = t\) এবং \(dv = e^t dt\)। সুতরাং, \(du = dt\) এবং \(v = e^t\)। সুতরাং, \(\int_0^1 t e^t dt = \left[ t e^t \right]_0^1 - \int_0^1 e^t dt = \left[ t e^t \right]_0^1 - \left[ e^t \right]_0^1\) \(= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^1 - e^0) = e - (e - 1) = e - e + 1 = 1\) অতএব, \(I = \frac{1}{2} \int_0^1 t e^t dt = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} = 0.5\) 🎉🎉 সুতরাং, \(\int_0^1 x^3 e^{x^2} dx = 0.5\)