int(sinx+cosx)/(sqrt(1+sin2x))dx=?

প্রশ্ন: \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx = ?\)

সমাধান:

আমরা জানি, \(1 + \sin 2x = (\sin x + \cos x)^2\)

সুতরাং, \(\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|\)

তাহলে, \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx = \int \frac{\sin x + \cos x}{|\sin x + \cos x|} dx\)

যদি \(\sin x + \cos x > 0\) হয়, তবে

\(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int 1 dx = x + c\)

যদি \(\sin x + \cos x < 0\) হয়, তবে

\(\int \frac{\sin x + \cos x}{-(\sin x + \cos x)} dx = \int -1 dx = -x + c\)

অতএব, \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx = x + c\), যখন \(\sin x + \cos x > 0\)

এবং \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx = -x + c\), যখন \(\sin x + \cos x < 0\)

কিন্তু প্রদত্ত উত্তর \(x+c\), তাই আমরা ধরে নিতে পারি যে \(\sin x + \cos x > 0\).

সুতরাং, \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx = x + c\) 🎉