\( \frac{1}{2} (e^x - e^{-x}) \) এর ধারা বিস্তৃতি কত?

প্রশ্ন:

প্রশ্ন: \( \frac{1}{2} (e^x - e^{-x}) \) এর ধারা বিস্তৃতি কত?

উত্তর:

প্রথমে, আমরা জানি যে:

\( e^x \) এর টেইলর ধারা বিস্তৃতি:

\( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)

এবং, \( e^{-x} \) এর টেইলর ধারা:

\( e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} \)

অতএব,

\( e^x - e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} \)

এটি সরলীকরণ করলে, অর্ধেকের জন্য, অর্থাৎ, \( \frac{1}{2} (e^x - e^{-x}) \), আমরা পাই:

\[ \frac{1}{2} (e^x - e^{-x}) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} \right) \]

উপরের দুইটি সমষ্টির পার্থক্য কেবলমাত্র অবিভাজ্য অংকগুলোই অবশিষ্ট থাকবে। কারণ, যখন \( n \) জোড়, তখন \( (-1)^n = 1 \), ফলে তাদের পার্থক্য শূন্য। যখন \( n \) বিজোড়, তখন \( (-1)^n = -1 \), ফলে পার্থক্য হবে:

\[ \frac{x^n}{n!} - \frac{(-1)^n x^n}{n!} = \frac{x^n}{n!} - \left( -\frac{x^n}{n!} \right) = \frac{2 x^n}{n!} \]

অতএব, শুধুমাত্র বিজোড় মানের \( n \) এর জন্য পার্থক্য সক্রিয় থাকবে। তাই, ধারা বিস্তৃতি হবে:

\[ \frac{1}{2} (e^x - e^{-x}) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{2 x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]

অতএব,

ধারা বিস্তৃতি:

\[ \boxed{ \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots } \]