অন্তর্ভুক্তি কোণের মান cos^{-1}(-√13 / 2√7) হলে তা নিচের কোন ভেক্টরদ্বয়ে?? জন্য সত্য?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে, অন্তর্ভুক্তি কোণের মান \( \cos^{-1}\left(\frac{-\sqrt{13}}{2 \sqrt{7}}\right) \)। অর্থাৎ, দুটি ভেক্টর \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) এর জন্য, তাদের অন্তর্ভুক্তি কোণের মান এই সূত্রে নির্ণয় করা যাবে:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \]

আমাদের দেওয়া ভেক্টরগুলি হল:

\[ \vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k} \] \[ \vec{B} = \hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k} \]

ধাপ ১: ভেক্টরগুলির ডট প্রোডাক্ট নির্ণয়:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (-3)(4) + (-1)(3) = 2 - 12 - 3 = -13 \]

ধাপ ২: প্রতিটি ভেক্টরের মাত্রা নির্ণয়:

\[ |\vec{A}| = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \] \[ |\vec{B}| = \sqrt{(1)^2 + (4)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26} \]

ধাপ ৩: অন্তর্ভুক্তি কোণের মান নির্ণয়:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} = \frac{-13}{\sqrt{14} \times \sqrt{26}} = \frac{-13}{\sqrt{14 \times 26}} \]

ধাপ ৪: মানের তুলনা:

\[ \sqrt{14 \times 26} = \sqrt{364} \] এবং, \[ \sqrt{364} = 2 \sqrt{91} \] অতএব, \[ \cos \theta = \frac{-13}{2 \sqrt{91}} \]

ধাপ ৫: প্রশ্নে দেওয়া মানের সাথে তুলনা:

প্রশ্নে দেওয়া মান: \[ \cos \theta = \frac{-\sqrt{13}}{2 \sqrt{7}} \] তুলনা করি: \[ \frac{-\sqrt{13}}{2 \sqrt{7}} \quad \text{এবং} \quad \frac{-13}{2 \sqrt{91}} \] দুটি মানের সমতা পরীক্ষা করি: \[ \frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{7}} \stackrel{?}{=} \frac{13}{2 \sqrt{91}} \] প্রথম মান: \[ \frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{7}} \] দ্বিতীয় মান: \[ \frac{13}{2 \sqrt{91}} \] এখন, দেখি যদি উভয় মান সমান হয়: \[ \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{7}} = \frac{13}{\sqrt{91}} \] উভয় পাশে বর্গ করি: \[ \left(\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{7}}\right)^2 = \left(\frac{13}{\sqrt{91}}\right)^2 \] অর্থাৎ: \[ \frac{13}{7} = \frac{169}{91} \] দুটি মান সমান কিনা: \[ \frac{13}{7} = \frac{169}{91} \] কারণ \( 169 = 13^2 \), এবং \( 91 = 7 \times 13 \): \[ \frac{169}{91} = \frac{13^2}{7 \times 13} = \frac{13}{7} \] অর্থাৎ, উভয় মান সমান। অতএব, দেওয়া মানটি আসলেই সমান। ### উপসংহার: অতএব, উল্লিখিত ভেক্টরদ্বয়ের জন্য অন্তর্ভুক্তি কোণের মান এই মানের সমান। অর্থাৎ, এই ভেক্টরদ্বয় এই মানের জন্য সত্য।

উত্তর:

যেহেতু ভেক্টরদ্বয় হল \( \mathbf{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k} \) এবং \( \mathbf{B} = \hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k} \), তাদের অন্তর্ভুক্তি কোণের মান দেওয়া মানের সমান।