(6,7) বিন্দুটি x²+y²-4x+5y+4=0 বৃত্তের সাপেক্ষে কোথায় অবস্থিত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: (6,7) বিন্দুটি \( x^2 + y^2 - 4x + 5y + 4 = 0 \) বৃত্তের সাপেক্ষে কোথায় অবস্থিত? উত্তর: "বাহিরে" সমাধান: প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি: \[ x^2 + y^2 - 4x + 5y + 4 = 0 \] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে, এই সমীকরণটি সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি। প্রথম, \(x\) ও \(y\) এর জন্য অংশগুলো আলাদা করি: \[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 5y) = -4 \] এখন, প্রতিটির জন্য সম্পূর্ণ বর্গের যোগফল করি: \[ x^2 - 4x + \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - \left(\frac{-4}{2}\right)^2 + y^2 + 5y + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = -4 \] অর্থাৎ, \[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 5y + \frac{25}{4}) = -4 + 4 + \frac{25}{4} \] এখানে, \[ (x - 2)^2 + \left(y + \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \] এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যেখানে: \[ \text{কেন্দ্র} \quad C = (2, -\frac{5}{2}) \] \[ \text{ব্যাসার্ধ} \quad r = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \] এখন, বিন্দু \( P = (6, 7) \) এর সাথে কেন্দ্রের দূরত্ব নির্ণয় করি: \[ d = \sqrt{(6 - 2)^2 + \left(7 + \frac{5}{2}\right)^2} \] \[ d = \sqrt{(4)^2 + \left(7 + 2.5\right)^2} \] \[ d = \sqrt{16 + (9.5)^2} \] \[ d = \sqrt{16 + 90.25} \] \[ d = \sqrt{106.25} \] \[ d = 10.3 \] (প্রায়) ব্যাসার্ধ \( r = 2.5 \)। যেহেতু, \( d > r \), অর্থাৎ \[ 10.3 > 2.5 \] অতএব, বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত। উত্তর: **বাহিরে**