int_0^1 dx/(sqrt(2x-x^2)) এর মান  -

প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}\) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রালটিকে একটু সরল করে নেই:

\(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 - (x^2 - 2x + 1)}} = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 - (x-1)^2}}\)

এখন, \(x-1 = \sin(\theta)\) ধরি। তাহলে, \(dx = \cos(\theta) d\theta\).

যখন \(x = 0\), \(\sin(\theta) = 0-1 = -1\), সুতরাং \(\theta = -\frac{\pi}{2}\).

যখন \(x = 1\), \(\sin(\theta) = 1-1 = 0\), সুতরাং \(\theta = 0\).

তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos(\theta) d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos(\theta) d\theta}{\sqrt{\cos^2(\theta)}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos(\theta) d\theta}{\cos(\theta)} = \int_{-\pi/2}^0 d\theta\)

\(= [\theta]_{-\pi/2}^0 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}\)

অতএব, \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{\pi}{2}\) 🎉🎉।

উত্তর: \(\frac{\pi}{2}\)