2hati+hatj-hatk, 3hati -2hatj+4hatk এবং  hati -3hatj+ahatk তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হলে a এর মান কোনটি?

🤔 তিনটি ভেক্টর \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) এবং \( \vec{c} \) সমতলীয় হওয়ার শর্ত হলো, তাদের স্কেলার ট্রিপল গুণফল শূন্য হবে। অর্থাৎ, \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0 \) হতে হবে।

দেওয়া আছে, ভেক্টর তিনটি হলো:

\( \vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \)

\( \vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k} \)

\( \vec{c} = \hat{i} - 3\hat{j} + a\hat{k} \)

স্কেলার ট্রিপল গুণফল \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] \) নির্ণয় করার জন্য আমরা নির্ণায়ক ব্যবহার করতে পারি:

\( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & -3 & a \end{vmatrix} \)

নির্ণায়কের মান বের করি:

\( = 2 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -3 & a \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & a \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} \)

\( = 2(-2a - (-12)) - 1(3a - 4) - 1(-9 - (-2)) \)

\( = 2(-2a + 12) - (3a - 4) - (-9 + 2) \)

\( = -4a + 24 - 3a + 4 + 7 \)

\( = -7a + 35 \)

যেহেতু ভেক্টর তিনটি সমতলীয়, তাই \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0 \) হবে।

\( -7a + 35 = 0 \)

\( 7a = 35 \)

\( a = \frac{35}{7} \)

\( a = 5 \)

সুতরাং, a এর মান 5। 🎉