intg(x)dx =কত?

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রালটি নিম্নরূপ সমাধান করব:

\( \int x \, dx \)

প্রথমে, \( x \) এর সাথে সম্পর্কিত একটি পরিচিত ইন্টিগ্রাল সূত্র ব্যবহার করব:

\( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), যেখানে \( n \neq -1 \)

এখানে, \( n = 1 \), সুতরাং:

\( \int x \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C \)

তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে \( \int x \ln x \, dx \), তাই এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করতে হবে।

উপযুক্ত পদ্ধতি: ইন্টিগ্রাল দ্বারা বিভাজন (Integration by parts)

ইন্টিগ্রালটি লিখি:

\( \int x \ln x \, dx \)

আমরা, \( u = \ln x \), \( dv = x \, dx \)

অতএব, \( du = \frac{1}{x} \, dx \), \( v = \frac{x^2}{2} \)

ইন্টিগ্রাল সমাধান:

\( \int x \ln x \, dx = uv - \int v \, du \)

\( = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \)

\( = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx \)

এখন, \(\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \), সুতরাং:

\( = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C \)

অর্থাৎ,

\( \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C \)

সারাংশ:

অতএব,

\( \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \)

এবং,

\( \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C \)