x-3y=c রেখাটি \( x^2 + y^2 - 6x + 8y + 15 = 0 \) এর স্পর্শক হলে স্পর্শকটি কর্তৃক x- অক্ষের খন্ডিত অংশ কত একক হবে?

Explanation: Solve: বৃত্তের কেন্দ্র \( (3, -4) \) ব্যাসার্ধ = \( \sqrt{3^2 + 4^2 - 15} = \sqrt{10} \) আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব = ব্যাসার্ধ \[ \Rightarrow \frac{|3 - 3(-4) - c|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \sqrt{10} \Rightarrow \frac{|3 + 12 - c|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \] \[ \Rightarrow 15 - c = \pm 10; (+) \, \text{নিয়ে,} \, c = 5; (-) \, \text{নিয়ে,} \, c = 25 \] \[ \therefore x - 3y = 5 \quad \text{এবং} \quad x - 3y = 25 \] স্পর্শক কর্তৃক বিভক্ত অংশ \( 5 \) ও \( 25 \) একক। Ans. (A)

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন:

x-3y=c রেখাটি \( x^2 + y^2 - 6x + 8y + 15 = 0 \) এর স্পর্শক হলে স্পর্শকটি কর্তৃক x- অক্ষের খন্ডিত অংশ কত একক হবে?

সমাধান:

প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ করি:

\[ x^2 + y^2 - 6x + 8y + 15 = 0 \] \[ (x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) + 15 = 0 \] \[ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) + 15 - 9 - 16 = 0 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 10 \]

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (3, -4) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{10} \).

এখন, সরলরেখা \( x - 3y = c \) বৃত্তটির স্পর্শক। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।

লম্ব দূরত্ব,

\[ d = \frac{|3 - 3(-4) - c|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|3 + 12 - c|}{\sqrt{10}} = \frac{|15 - c|}{\sqrt{10}} \]

যেহেতু রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক, তাই \( d = r \). অতএব,

\[ \frac{|15 - c|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \] \[ |15 - c| = 10 \]

সুতরাং, \( 15 - c = 10 \) অথবা \( 15 - c = -10 \).

যদি \( 15 - c = 10 \) হয়, তবে \( c = 5 \).

যদি \( 15 - c = -10 \) হয়, তবে \( c = 25 \).

সুতরাং, স্পর্শকের সমীকরণ \( x - 3y = 5 \) অথবা \( x - 3y = 25 \).

কেস ১: \( x - 3y = 5 \)

x-অক্ষকে ছেদ করার জন্য, \( y = 0 \) বসাই।

\( x - 3(0) = 5 \Rightarrow x = 5 \)

সুতরাং, x-অক্ষের খন্ডিত অংশ 5 একক।

কেস ২: \( x - 3y = 25 \)

x-অক্ষকে ছেদ করার জন্য, \( y = 0 \) বসাই।

\( x - 3(0) = 25 \Rightarrow x = 25 \)

সুতরাং, x-অক্ষের খন্ডিত অংশ ২৫ একক।

অতএব, স্পর্শকটি কর্তৃক x- অক্ষের খন্ডিত অংশ 5 একক অথবা 25 একক। 🥳

উত্তর: 5, 25

```