বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষেত্রে -
- 2sin^-1x = sin^-1(2xsqrt(1-x^2))
- 2tan^-1x=tan^-1 ((2x)/(1-x^2))=sec^-1((1+x^2)/(1-x^2)) 3sin-1x = sin-1(3x - 4x3 )
নিচের কোনটি সঠিক ?
উচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্রবিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোনমিতিক সমীকরনবিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের সূত্রাবলী (Topic Practice)
সঠিক উত্তরঃ
D.
i, ii ও iii
Another Explanation (5): প্রশ্নে তিনটি বিবৃতি দেওয়া হয়েছে। এগুলোর সঠিকতা যাচাই করতে প্রতিটি আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করি।
- \( 2 \sin^{-1} x = \sin^{-1} (2x \sqrt{1 - x^2}) \)
উপমা: \(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\) \\ যেখানে \(\theta = \sin^{-1} x\), তাই \(x = \sin \theta\) এবং \(\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}\) \\ সুতরাং, \(\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2x \sqrt{1 - x^2}\) \\ অতএব, \(\sin^{-1}(2x \sqrt{1 - x^2}) = 2 \sin^{-1} x\) \\ এটি সত্য। - \( 2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) = \sec^{-1} \left(\frac{1 + x^2}{1 - x^2}\right) \)
প্রথম অংশ: \(\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}\) \\ যেখানে \(\theta = \tan^{-1} x\), তাই \(\tan \theta = x\). \\ অতএব, \(2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)\) — এটি সঠিক।
দ্বিতীয় অংশ: \(\sec^{-1} y\) এর জন্য, \(\sec \phi = y \Rightarrow \phi = \sec^{-1} y\). \\ \(\sec 2 \theta = \frac{1}{\cos 2 \theta} = \frac{1}{2 \cos^2 \theta - 1}\). \\ তবে, এই অভিব্যক্তি \(\sec^{-1}\) এর সঙ্গে সরাসরি সম্পর্কিত নয়। \\ অতএব, \(\sec^{-1} \left(\frac{1 + x^2}{1 - x^2}\right)\) এই সমীকরণটি সাধারণত পরিচিত নয় এবং এটি সঠিক নয়। \\ সুতরাং, এই বিবৃতি অর্ধসত্য বা ভুল। - \( \sin^{-1} x = \sin^{-1} (3x - 4x^3) \)
এখানে, \(3x - 4x^3\) কে \(\sin 3 \theta\) হিসেবে লেখা যায়, যেখানে \(\sin \theta = x\). \\ যদি \(\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta\), তাহলে \(3x - 4x^3 = \sin 3 \theta\). \\ অতএব, \(\sin^{-1}(3x - 4x^3) = 3 \sin^{-1} x\). \\ সুতরাং, \(\sin^{-1} x = \frac{1}{3} \sin^{-1}(3x - 4x^3)\) — এটি মূল বিবৃতির সঙ্গে মেলে না। \\ অর্থাৎ, মূল বক্তব্যটি ভুল।
প্রথম বিবৃতি সত্য।
দ্বিতীয় বিবৃতি আংশিক সত্য বা ভুল।
তৃতীয় বিবৃতি ভুল।
সুতরাং, শুধুমাত্র (i) সঠিক।
```