যদি \( \vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k} \), \( \vec{B} = m\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k} \) হলে \( m \) এর মান কত হলে ভেক্টরদ্বয় পরষ্পরের উপর লম্ব হবে?
যদি A = 2î + 3ï - 5ê এবং B = mî + 2ï + 10ê হলে m এর মান কত হলে ভেক্টরদ্বয় পরষ্পরের উপর লম্ব হবে?
- 12 (Incorrect)
- 16 (Incorrect)
- 18 (Incorrect)
- 22 (Correct)
ব্যাখ্যা:
দুটি ভেক্টর A এবং B পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়। অর্থাৎ, A ⋅ B = 0।
ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল নির্ণয়
ভেক্টর A = 2î + 3ï - 5ê
ভেক্টর B = mî + 2ï + 10ê
ডট গুণফল A ⋅ B = (2 × m) + (3 × 2) + (-5 × 10)
A ⋅ B = 2m + 6 - 50
A ⋅ B = 2m - 44
লম্ব হওয়ার শর্ত প্রয়োগ
যেহেতু ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব, তাই A ⋅ B = 0 হতে হবে।
2m - 44 = 0
m এর মান নির্ণয়
এখন আমরা m এর মান বের করব:
2m = 44
m = 44 / 2
m = 22
বিকল্পগুলির বিশ্লেষণ
- A. 12: যদি m = 12 হয়, A ⋅ B = 2(12) - 44 = 24 - 44 = -20 ≠ 0।
- B. 16: যদি m = 16 হয়, A ⋅ B = 2(16) - 44 = 32 - 44 = -12 ≠ 0।
- C. 18: যদি m = 18 হয়, A ⋅ B = 2(18) - 44 = 36 - 44 = -8 ≠ 0।
- D. 22: যদি m = 22 হয়, A ⋅ B = 2(22) - 44 = 44 - 44 = 0।
সিদ্ধান্ত
ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ার জন্য m এর মান 22 হতে হবে।
সঠিক উত্তর: D. 22
ভেক্টরদ্বয় লম্ব হওয়ার শর্ত এবং \( m \) এর মান নির্ণয়
দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণফল শূন্য হওয়া, অর্থাৎ \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\)।
এখানে, \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}\) এবং \(\vec{B} = m\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k}\)
সুতরাং, \(\vec{A} \cdot \vec{B} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) \cdot (m\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k})\)
ডট গুণফল করার নিয়ম অনুযায়ী:
\(\vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times m) + (3 \times 2) + (-5 \times 10)\)
\(= 2m + 6 - 50\)
\(= 2m - 44\)
যেহেতু ভেক্টরদ্বয় লম্ব, তাই \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\)
অতএব, \(2m - 44 = 0\)
বা, \(2m = 44\)
সুতরাং, \(m = \frac{44}{2} = 22\)
অতএব, \(m\) এর মান 22 হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে। 🎉
```