x+2y+3=0 রেখার উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত (-1,-1) এবং (3,2) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরন নির্ণয় কর।

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় 🧐

ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, k) \) এবং বৃত্তটি \( (-1, -1) \) ও \( (3, 2) \) বিন্দু দিয়ে যায়।

যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র \( x + 2y + 3 = 0 \) রেখার উপর অবস্থিত, তাই

\[ h + 2k + 3 = 0 \quad \cdots (1) \]

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে \( (-1, -1) \) ও \( (3, 2) \) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান (কারণ তারা বৃত্তের উপর অবস্থিত)। সুতরাং,

\[ (h + 1)^2 + (k + 1)^2 = (h - 3)^2 + (k - 2)^2 \] \[ h^2 + 2h + 1 + k^2 + 2k + 1 = h^2 - 6h + 9 + k^2 - 4k + 4 \] \[ 2h + 2k + 2 = -6h - 4k + 13 \] \[ 8h + 6k - 11 = 0 \quad \cdots (2) \]

এখন, \( (1) \) নং সমীকরণ থেকে \( h = -2k - 3 \) পাই। এই মান \( (2) \) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\[ 8(-2k - 3) + 6k - 11 = 0 \] \[ -16k - 24 + 6k - 11 = 0 \] \[ -10k - 35 = 0 \] \[ k = -\frac{35}{10} = -\frac{7}{2} \]

সুতরাং, \( h = -2(-\frac{7}{2}) - 3 = 7 - 3 = 4 \)

তাহলে, বৃত্তের কেন্দ্র \( (4, -\frac{7}{2}) \)

বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \) হলে,

\[ r^2 = (4 + 1)^2 + (-\frac{7}{2} + 1)^2 = 5^2 + (-\frac{5}{2})^2 = 25 + \frac{25}{4} = \frac{100 + 25}{4} = \frac{125}{4} \]

বৃত্তের সমীকরণ হবে:

\[ (x - 4)^2 + (y + \frac{7}{2})^2 = \frac{125}{4} \] \[ x^2 - 8x + 16 + y^2 + 7y + \frac{49}{4} = \frac{125}{4} \] \[ x^2 + y^2 - 8x + 7y + 16 + \frac{49}{4} - \frac{125}{4} = 0 \] \[ x^2 + y^2 - 8x + 7y + 16 - \frac{76}{4} = 0 \] \[ x^2 + y^2 - 8x + 7y + 16 - 19 = 0 \] \[ x^2 + y^2 - 8x + 7y - 3 = 0 \]

অতএব, বৃত্তটির সমীকরণ \( x^2 + y^2 - 8x + 7y - 3 = 0 \) 🎉

```