int(dx)/(e^x+e^-x) এর মান কত?

প্রশ্ন: \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}\) এর মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি, \(e^{-x} = \frac{1}{e^x}\)

সুতরাং, \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = \int \frac{dx}{e^x + \frac{1}{e^x}}\)

লসাগু করে পাই, \(\int \frac{dx}{\frac{e^{2x} + 1}{e^x}} = \int \frac{e^x dx}{e^{2x} + 1}\)

ধরি, \(e^x = z\). তাহলে, \(e^x dx = dz\)

সুতরাং, \(\int \frac{e^x dx}{e^{2x} + 1} = \int \frac{dz}{z^2 + 1}\)

আমরা জানি, \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1}(x) + c\)

তাহলে, \(\int \frac{dz}{z^2 + 1} = \tan^{-1}(z) + c\)

z এর মান বসিয়ে পাই, \(\tan^{-1}(e^x) + c\)

অতএব, \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = \tan^{-1}(e^x) + c\)

উত্তর: \(\tan^{-1}(e^x) + c\) 🎉