int_0^(pi/3) sin2x sinx dx এর মান কত?

আমরা \( \int_{0}^{\pi/3} \sin{2x} \sin{x} \, dx \) এর মান নির্ণয় করব।

প্রথমে, \( \sin{2x} \) কে \( 2\sin{x}\cos{x} \) আকারে লিখি। তাহলে,

\( \int_{0}^{\pi/3} \sin{2x} \sin{x} \, dx = \int_{0}^{\pi/3} 2\sin{x}\cos{x} \sin{x} \, dx = 2 \int_{0}^{\pi/3} \sin^2{x} \cos{x} \, dx \)

এখন, \( \sin{x} = u \) ধরি। তাহলে, \( \cos{x} \, dx = du \) হবে।

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \sin{0} = 0 \) এবং যখন \( x = \pi/3 \), তখন \( u = \sin{(\pi/3)} = \sqrt{3}/2 \)।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি \( 2 \int_{0}^{\sqrt{3}/2} u^2 \, du \) তে রূপান্তরিত হবে।

\( 2 \int_{0}^{\sqrt{3}/2} u^2 \, du = 2 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{3}/2} = 2 \left( \frac{(\sqrt{3}/2)^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \)

\( = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8 \cdot 3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4} \)

অতএব, \( \int_{0}^{\pi/3} \sin{2x} \sin{x} \, dx = \frac{\sqrt{3}}{4} \)। 🎉