x²+y²=1 ও y²=1-x বক্ররেখা দুইটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত ? 

প্রশ্ন:

x²+y²=1 ও y²=1-x বক্ররেখা দুইটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

প্রথমে, বক্ররেখা দুইটির ছেদ বিন্দু নির্ণয় করি।

x² + y² = 1 এবং y² = 1 - x

x² + (1 - x) = 1

x² - x = 0

x(x - 1) = 0

সুতরাং, x = 0 অথবা x = 1

যখন x = 0, y² = 1, সুতরাং y = ±1

যখন x = 1, y² = 0, সুতরাং y = 0

সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো (0, 1), (0, -1) এবং (1, 0).

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করি। বৃত্তের সমীকরণ থেকে y = √(1 - x²) এবং প্যারাবলার সমীকরণ থেকে y = √(1 - x). যেহেতু y² আছে তাই আমরা শুধু উপরের অংশটি বিবেচনা করি এবং তারপর ২ দিয়ে গুণ করি।

ক্ষেত্রফল = 2 * ∫₀¹ [√(1 - x²) - √(1 - x)] dx

ধরি, x = sinθ, তাহলে dx = cosθ dθ

যখন x = 0, θ = 0 এবং যখন x = 1, θ = π/2

∫₀¹ √(1 - x²) dx = ∫₀^π/2 √(1 - sin²θ) cosθ dθ = ∫₀^π/2 cos²θ dθ

= ∫₀^π/2 (1 + cos2θ)/2 dθ = [θ/2 + (sin2θ)/4]₀^π/2 = π/4

এখন, ∫₀¹ √(1 - x) dx = [-2/3 (1 - x)^3/2]₀¹ = 0 - (-2/3) = 2/3

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = 2 * [π/4 - 2/3] = 2(π/4 - 2/3)

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 2(π/4 - 2/3) বর্গ একক।🎉