y = mx, y = m₁x এবং y = b রেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে-

প্রশ্ন:

y = mx, y = m₁x এবং y = b রেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে-

উত্তর:

ধরি, প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি হলো:

1. y = mx ...(1)
2. y = m₁x ...(2)
3. y = b ...(3)

প্রথমে, আমরা এই সরলরেখাগুলোর ছেদ বিন্দুগুলো নির্ণয় করি।

(1) ও (3) নং সরলরেখার ছেদ বিন্দু:

y = mx = b ⇒ x = b/m

সুতরাং, ছেদ বিন্দুটি হলো A(b/m, b).

(2) ও (3) নং সরলরেখার ছেদ বিন্দু:

y = m₁x = b ⇒ x = b/m₁

সুতরাং, ছেদ বিন্দুটি হলো B(b/m₁, b).

(1) ও (2) নং সরলরেখার ছে??? বিন্দু:

mx = m₁x ⇒ x(m - m₁) = 0

যেহেতু m ≠ m₁, সুতরাং x = 0

তাহলে, y = m * 0 = 0

সুতরাং, ছেদ বিন্দুটি হলো C(0, 0).

এখন, ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। শীর্ষবিন্দুগুলো হলো A(b/m, b), B(b/m₁, b) এবং C(0, 0)।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করে:

ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\)

এখানে, \(x_1 = b/m, y_1 = b\), \(x_2 = b/m_1, y_2 = b\), \(x_3 = 0, y_3 = 0\).

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} |\frac{b}{m}(b - 0) + \frac{b}{m_1}(0 - b) + 0(b - b)|\)

= \(\frac{1}{2} |\frac{b^2}{m} - \frac{b^2}{m_1}|\)

= \(\frac{1}{2} |b^2(\frac{1}{m} - \frac{1}{m_1})|\)

= \(\frac{b^2}{2} |\frac{1}{m} - \frac{1}{m_1}|\)

যেহেতু ক্ষেত্রফল সবসময় ধনাত্মক হয়, তাই আমরা পরম মান চিহ্ন ব্যবহার করতে পারি।

অতএব, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো: \(\frac{b^2}{2} |\frac{1}{m} - \frac{1}{m_1}|\) বর্গ একক।

অথবা, \(\frac{b^2}{2} |(\frac{m_1 - m}{mm_1})|\) বর্গ একক।

সুতরাং, উত্তর: \( \frac{b^2}{2} (\frac{1}{m} - \frac{1}{m_1})\) (যদি \(\frac{1}{m} > \frac{1}{m_1}\) হয়)।

অথবা, \( \frac{b^2}{2} (\frac{1}{m_1} - \frac{1}{m})\) (যদি \(\frac{1}{m_1} > \frac{1}{m}\) হয়)।

প্রদত্ত উত্তরের সাথে মিলিয়ে, ক্ষেত্রফল : \(\frac{b^2}{2} (\frac{1}{m} - \frac{1}{m_1})\)

✅ সুতরাং, ক্ষেত্রফল = \(\frac{b^2}{2}(\frac{1}{m} - \frac{1}{m_1})\)