y2 = 4ax পরাবৃত্ত এবং y = x সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল-
প্রশ্ন: \(y^2 = 4ax\) পরাবৃত্ত এবং \(y = x\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রথমে, পরাবৃত্ত \(y^2 = 4ax\) এবং সরলরেখা \(y = x\) এর ছেদ বিন্দু নির্ণয় করি।
\(y^2 = 4ax\) সমীকরণে \(y = x\) বসিয়ে পাই,
\(x^2 = 4ax\)
\(x^2 - 4ax = 0\)
\(x(x - 4a) = 0\)
সুতরাং, \(x = 0\) অথবা \(x = 4a\)।
যখন \(x = 0\), তখন \(y = 0\), এবং যখন \(x = 4a\), তখন \(y = 4a\)।
সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো \((0, 0)\) এবং \((4a, 4a)\)।
এখন, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি। ক্ষেত্রফল হবে:
\(\int_{0}^{4a} (\sqrt{4ax} - x) dx\)
\(= \int_{0}^{4a} (2\sqrt{a}\sqrt{x} - x) dx\)
\(= 2\sqrt{a} \int_{0}^{4a} \sqrt{x} dx - \int_{0}^{4a} x dx\)
\(= 2\sqrt{a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{4a} - \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{4a}\)
\(= 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} (4a)^{3/2} - \frac{1}{2} (4a)^2\)
\(= \frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot 8 a\sqrt{a} - \frac{1}{2} \cdot 16a^2\)
\(= \frac{32}{3} a^2 - 8a^2\)
\(= \frac{32a^2 - 24a^2}{3}\)
\(= \frac{8}{3} a^2\)
অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(\frac{8}{3} a^2\) বর্গ একক। 🎉
```