\( A, B, C \) বিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( (a,bc), (b,ac) \) ও \( (c,ab) \) হলে \( ABC \) ত্রিভুজগুলোর ক্ষেত্রফল-

প্রশ্ন:

প্রশ্নটি হলো: যদি বিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক হয় \(A (a, bc)\), \(B (b, ac)\), ও \(C (c, ab)\), তবে ত্রিভুজ \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সাধারণত ব্যবহৃত সূত্র হলো:

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \]

এখানে, \(A(a, bc)\), \(B(b, ac)\), \(C(c, ab)\)। তাহলে:

\[ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} |a (ac - ab) + b (ab - bc) + c (bc - ac)| \\ &= \frac{1}{2} |a a c - a a b + b a b - b b c + c b c - c a c| \\ \end{aligned} \]

এখন, প্রতিটি টার্মের মধ্যে সাধারণ ফ্যাক্টর বের করি:

\[ \begin{aligned} &= \frac{1}{2} |a c (a - b) + b c (a - b) + c b (c - a)| \\ \end{aligned} \]

দেখা যায়, প্রথম দুটি টার্মে \(a - b\) রয়েছে, সুতরাং:

\[ = \frac{1}{2} |(a c + b c) (a - b) + c b (c - a)| \]

এখন, লিখি:

\[ = \frac{1}{2} | c (a + b) (a - b) + c b (c - a) | \]

অথবা:

\[ = \frac{1}{2} | c (a + b) (a - b) + c b (c - a) | \]

এখন, \( c b (c - a) = c b c - c b a \)। তাই:

\[ = \frac{1}{2} | c (a + b) (a - b) + c^2 b - c a b | \]

এখানে, লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে, এই সমীকরণটি যথাযথভাবে সরলীকৃত হলে তার ফলাফল হবে:

Area = 3abc

উপসংহার:

অতএব, ত্রিভুজ \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল হলো:

\[ \boxed{3abc} \]