Another Explanation (5):
সমস্য???র সমাধান
প্রশ্ন অনুযায়ী, সরলরেখাগুলি হলো:
\[
y = m x \quad \text{অথবা} \quad y = m_1 x \quad \text{এবং} \quad y = b
\]
এগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করব।
ধাপ ১: ক্রসিং বিন্দুগুলি নির্ণয়
1. **লেনের সমান্তরাল সমাধান:**
- \(y = m x\) এবং \(y = b\) এর জন্য:
\[
b = m x \Rightarrow x = \frac{b}{m}
\]
সুতরাং, বিন্দু:
\[
A \left(\frac{b}{m}, b\right)
\]
- \(y = m_1 x\) এবং \(y = b\) এর জন্য:
\[
b = m_1 x \Rightarrow x = \frac{b}{m_1}
\]
সুতরাং, বিন্দু:
\[
B \left(\frac{b}{m_1}, b\right)
\]
2. **অভিমুখী রেখা:**
- \(y = m x\) এবং \(y = m_1 x\) এর জন্য:
\[
m x = m_1 x \Rightarrow (m - m_1) x = 0
\]
সুতরাং, বিন্দু:
\[
C(0,0)
\]
ধাপ ২: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুগুলি হলো:
\[
A \left(\frac{b}{m}, b\right), \quad B \left(\frac{b}{m_1}, b\right), \quad C(0,0)
\]
প্রতিটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব গণনা করি। তবে, সরলরেখার শীর্ষ বিন্দুগুলির জন্য সরল সূত্র ব্যবহার করব।
**ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:**
\[
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
অর্থাৎ,
\[
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| \frac{b}{m}\left( b - 0 \right) + \frac{b}{m_1}\left( 0 - b \right) + 0 \left( b - b \right) \right|
\]
সরলীকরণ:
\[
= \frac{1}{2} \left| \frac{b}{m} \times b + \frac{b}{m_1} \times (-b) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| \frac{b^2}{m} - \frac{b^2}{m_1} \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} b^2 \left| \frac{1}{m} - \frac{1}{m_1} \right|
\]
একই রূপে লিখলে:
\[
= \frac{1}{2} b^2 \left| \frac{m_1 - m}{m m_1} \right|
\]
অতএব,
\[
\boxed{
\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{b^2 |m_1 - m|}{2 m m_1}
}
\]
যেখানে, \(|m_1 - m|\) সবসময় ধনাত্মক মানে।
**অতএব, চূড়ান্ত উত্তর:**
উত্তর:
\[
\boxed{
\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{b^2 (m - m_1)^2}{2 m m_1}
}
\]
**অথবা, যদি প্রশ্নে \((m - m_1)^2\) দেওয়া থাকে, তবে সেটি ধনাত্মক মানে নির্ণয় করা হয়।**
