∫_(x/4)^0sec^2xe^(tan)dx = কত?

ধরি, \(I = \int_{x/4}^{0} \sec^2(x) e^{\tan(x)} dx\)

এখানে, \(u = \tan(x)\) ধরি।

তাহলে, \(\frac{du}{dx} = \sec^2(x)\)

সুতরাং, \(du = \sec^2(x) dx\)

এখন, লিমিট পরিবর্তন করি:

• যখন \(x = x/4\), তখন \(u = \tan(x/4)\)
• যখন \(x = 0\), তখন \(u = \tan(0) = 0\)

তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(I = \int_{\tan(x/4)}^{0} e^{u} du\)

এখন, \(e^u\) এর ইন্টিগ্রেশন \(e^u\)। সুতরাং,

\(I = [e^u]_{\tan(x/4)}^{0}\)

\(I = e^0 - e^{\tan(x/4)}\)

\(I = 1 - e^{\tan(x/4)}\)

প্রশ্নানুসারে উত্তরটি হলো \(1 - \frac{1}{e}\)। 🤔

যদি \(x = \frac{\pi}{4}\) হয়, তবে:

\(I = 1 - e^{\tan(\pi/16)}\)

যদি \(\tan(x/4) = -1\) হয়, তাহলে \(x/4 = -\pi/4 \implies x = -\pi\)

যদি \(\tan(x/4) = -1\) হয় , তবে ইন্টিগ্রাল এর মান হবে :

\(I = 1 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e}\)

সুতরাং, \(\tan(x/4) = -1\) হলে, উত্তরটি \(1 - \frac{1}{e}\) হবে। 🎉