[[x+y,x,y],[x,x+z,z],[y,z,y+z]]=?

প্রশ্ন: নির্ণায়ক \(\begin{vmatrix} x+y & x & y \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix}\) এর মান নির্ণয় করো। 🧐

সমাধান:

আমরা নির্ণায়কটিকে নিম্নলিখিতভাবে লিখতে পারি:

\(\begin{vmatrix} x+y & x & y \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix}\)

C₁ থেকে C₂ এবং C₃ বিয়োগ করে পাই,

\(\begin{vmatrix} (x+y)-x-y & x & y \\ x-(x+z)-z & x+z & z \\ y-z-(y+z) & z & y+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & x & y \\ -2z & x+z & z \\ -2z & z & y+z \end{vmatrix}\)

R₃ থেকে R₂ বিয়োগ করে পাই,

\(\begin{vmatrix} 0 & x & y \\ -2z & x+z & z \\ 0 & -x & y \end{vmatrix}\)

এখন প্রথম কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই,

\(= 0 \cdot C_{11} + (-(-2z)) \cdot \begin{vmatrix} x & y \\ -x & y \end{vmatrix} + 0 \cdot C_{31}\)

\(= 2z(xy - (-xy)) = 2z(xy + xy) = 2z(2xy) = 4xyz\)

সুতরাং, নির্ণায়কের মান \(4xyz\)। 🎉