নির্ণায়ক  |(x+y, x, y), (x, x+z, z), (y, z, y+z)| এর মান কত? 

নির্ণায়কের মান নির্ণয়:

দেয়া আছে, নির্ণায়কটি হল: \[ \begin{vmatrix} x+y & x & y \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix} \]

আমরা নির্ণায়কটির প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় সারি এবং তৃতীয় সারি যোগ করে পাই: \[ \begin{vmatrix} x+y+x+y & x+x+z+z & y+z+y+z \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2(x+y) & 2(x+z) & 2(y+z) \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix} \]

প্রথম সারি থেকে 2 কমন নিয়ে পাই: \[ 2 \begin{vmatrix} x+y & x+z & y+z \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix} \]

এখন প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় সারি বিয়োগ করে এবং প্রথম সারি থেকে তৃতীয় সারি বিয়োগ করে পাই: \[ 2 \begin{vmatrix} y & 0 & y \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix} \]

এখন প্রথম সারি থেকে তৃতীয় সারি বিয়োগ করে পাই: \[ 2 \begin{vmatrix} y-y & 0-z & y-(y+z) \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 0 & -z & -z \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix} \]

প্রথম সারির সাপেক্ষে নির্ণায়কটির বিস্তার করে পাই: \[ 2 \left[ 0 \cdot C_{11} + (-(-z)) \cdot C_{12} + (-z) \cdot C_{13} \right] \] যেখানে \(C_{ij}\) হল \(i\)-তম সারি এবং \(j\)-তম কলামের সহগুণনীয়। \[ = 2 \left[ z \begin{vmatrix} x & z \\ y & y+z \end{vmatrix} - z \begin{vmatrix} x & x+z \\ y & z \end{vmatrix} \right] \] \[ = 2 \left[ z(x(y+z) - yz) - z(xz - y(x+z)) \right] \] \[ = 2 \left[ z(xy + xz - yz) - z(xz - xy - yz) \right] \] \[ = 2 \left[ xyz + xz^2 - yz^2 - xz^2 + xyz + yz^2 \right] \] \[ = 2 \left[ 2xyz \right] = 4xyz \]

সুতরাং, নির্ণায়কের মান \(4xyz\)। 🎉