কোন নির্ণায়কের যে কোন দুটি সারি বা কলামের অনুরুপ ভুক্তিগুলো পরস্পরের সমানুপাতিক হলে ঐ নির্ণায়কের মান কত হবে ?

প্রশ্ন:

কোন নির্ণায়কের যে কোন দুটি সারি বা কলামের অনুরুপ ভুক্তিগুলো পরস্পরের সমানুপাতিক হলে ঐ নির্ণায়কের মান কত হবে ?

উত্তর:

"0"

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ধরা যাক, একটি নির্ণায়ক (matrix) হলো \( A \) যার আকার \( m \times n \)।

ধরা যাক, এর দুটি সারি \( R_i \) এবং \( R_j \) (বা কলাম \( C_p \) এবং \( C_q \)) অনুরুপ ভুক্তিগুলো পরস্পরের সমানুপাতিক।

অর্থাৎ, যদি সারি \( R_i = (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in}) \) এবং সারি \( R_j = (a_{j1}, a_{j2}, ..., a_{jn}) \), তাহলে:

অন্যতম ভুক্তি অনুযায়ী: \[ a_{i k} = k \times \lambda \quad \text{এবং} \quad a_{j k} = k \times \mu \] যেখানে, \(\lambda \) ও \(\mu \) হলো অনুপাতের ধ্রুবক।

যদি এই দুই সারির প্রতিটি উপাদান সমানুপাতিক হয়, তাহলে: \[ \frac{a_{i1}}{a_{j1}} = \frac{a_{i2}}{a_{j2}} = ... = \frac{a_{in}}{a_{jn}} = k \] অর্থাৎ, সারি বা কলাম অনুরুপ ভুক্তিগুলো একে অপরের সাথে সমানুপাতিক।

এটি বোঝায় যে, যদি দুটি সারি বা কলামের প্রতিটি ভুক্তির মধ্যে অনুপাত ধ্রুবক হয়, তাহলে এই সারি বা কলামগুলি একে অপরের সাথে অনুপাতিক।

এখন, যদি এই সারি বা কলামগুলো পরস্পরের সমানুপাতিক হয়, তাহলে এদের মধ্যে দ্বৈত সম্পর্কের জন্য ধ্রুবকটি হবে 1। অর্থাৎ, সারি বা কলামগুলো একে অন্যের অনুরূপ।

এখন, যদি এই সারি বা কলামগুলো পরস্পরের সমানুপাতিক হয়, তাহলে, তাদের মধ্যে পার্থক্য বা অনুপাতের মান 1 হবে।

এবং, যদি তাদের মধ্যে অনুপাত 1 হয়, তবে এই সারি বা কলামগুলো সমান।

এখন, যদি এই সারি বা কলামগুলো পরস্পরের সমানুপাতিক হয় এবং একই সময় তারা আলাদা আলাদা ভুক্তি ধারণ করে, তাহলে একে অপরের অনুপাত 1 হবে।

অর্থাৎ, এই সারি বা কলামগুলো সমান।

তবে, প্রশ্নে বলছে যে, এই শর্তে ঐ নির্ণায়কের মান কত হবে।

এখানে, যদি সারি বা কলামগুলো পরস্পরের সমানুপাতিক হয়, তবে তাদের অনুপাত ধ্রুবক হতে পারে, এবং এই ধ্রুবক যদি 0 হয়, তাহলে তো ভুক্তিগুলো সব শূন্য হবে।

এবং, যদি ভুক্তিগুলো সব শূন্য হয়, তবে নির্ণায়কের মান হবে 0।

অতএব, এই শর্তে নির্ণায়কের মান হবে 0.