f (x) এর মান কত হলে ∫ x2 cosx dx = f(x) -2 ∫ sinx dx সুত্রটি মেনে চলে?
প্রশ্নানুসারে, ∫ x2 cosx dx = f(x) - 2 ∫ sinx dx
আমাদের f(x) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমে, ∫ x2 cosx dx এর মান নির্ণয় করি। এখানে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (integration by parts) সূত্র ব্যবহার করতে হবে।
∫ u v dx = u ∫ v dx - ∫ (du/dx ∫ v dx) dx
ধরি, u = x2 এবং v = cosx
তাহলে, ∫ x2 cosx dx = x2 ∫ cosx dx - ∫ (d/dx (x2) ∫ cosx dx) dx
= x2 sinx - ∫ (2x sinx) dx
= x2 sinx - 2 ∫ x sinx dx
আবার ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করি, ∫ x sinx dx এর জন্য।
ধরি, u = x এবং v = sinx
∫ x sinx dx = x ∫ sinx dx - ∫ (d/dx (x) ∫ sinx dx) dx
= x (-cosx) - ∫ (1 * (-cosx)) dx
= -x cosx + ∫ cosx dx
= -x cosx + sinx + C1
সুতরাং, ∫ x2 cosx dx = x2 sinx - 2 (-x cosx + sinx) + C
= x2 sinx + 2x cosx - 2 sinx + C
এখন, প্রদত্ত সূত্রটি হল:
∫ x2 cosx dx = f(x) - 2 ∫ sinx dx
আমরা জানি, ∫ sinx dx = -cosx + C2
সুতরাং, x2 sinx + 2x cosx - 2 sinx + C = f(x) - 2 (-cosx) + C'
x2 sinx + 2x cosx - 2 sinx + C = f(x) + 2 cosx + C'
f(x) = x2 sinx + 2x cosx - 2 sinx - 2 cosx + (C - C')
ধ্রুবক C এবং C' কে উপেক্ষা করে:
যদি f(x) = x2 sinx + 2x cosx হয় তবে,
f(x) - 2 ∫ sinx dx = x2 sinx + 2x cosx - 2(-cosx) = x2 sinx + 2x cosx + 2cosx
কিন্তু আমাদের দরকার x2 sinx + 2x cosx - 2 sinx. 😔
যদি f(x) = x2 sinx + 2xcosx -2sinx -2cosx তবে,
f(x) - 2 ∫ sinx dx = x2 sinx + 2x cosx - 2 sinx - 2cosx +2 cosx = x2 sinx + 2x cosx - 2 sinx.
অতএব, প্রশ্নপত্রে দেওয়া উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য, f(x) = x2 sinx + 2xcosx - 2sinx - 2cosx होना चाहिए, जो कि सही नहीं है। তবে প্রশ্নপত্রে দেওয়া উত্তর `x2 sinx` যদি সঠিক হয় তবে ∫ x2 cosx dx = x2 sinx - 2 ∫ sinx dx সূত্রটি সঠিক নয়। 🧐
```