int_0^1dx/(sqrt(2x-x^2))=?

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = ? \)

সমাধান:

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রান্ডটিকে সরল করি:

\( \sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (1 - 2x + x^2)} = \sqrt{1 - (x - 1)^2} \)

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}} \)

এখন, ধরি \( x - 1 = \sin(\theta) \), তাহলে \( dx = \cos(\theta) d\theta \).

যখন \( x = 0 \), \( \sin(\theta) = -1 \), সুতরাং \( \theta = -\frac{\pi}{2} \).

যখন \( x = 1 \), \( \sin(\theta) = 0 \), সুতরাং \( \theta = 0 \).

তাহলে ইন্টিগ্রালটি পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:

\( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos(\theta) d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos(\theta) d\theta}{\sqrt{\cos^2(\theta)}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} d\theta \)

\( = [\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \)

অতএব, \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = \frac{\pi}{2} \). 🎉