x^2 + y^2 = 25 বৃত্তের পরিধির উপর তিনটি বিন্দু P(5,0), Q(0,5) এবং R (-4,3) হলে \( \angle PQR \) এর মান কত?

Explanation: Hints: কোসাইন Rule: \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\) Solve: \(PQ = \sqrt{(5-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{50}\) \(QR = \sqrt{(-4-0)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{20}\) \(PR = \sqrt{(5+4)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{90}\) \(\cos \angle PRQ = \frac{PR^2 + QR^2 - PQ^2}{2 \cdot PR \cdot QR} = \frac{90+20-50}{2\sqrt{90}\sqrt{20}}\) \(\ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{\pi}{4} \implies \angle PRQ = \frac{\pi}{4}\) Ans. (C) ব্যাখ্যা: প্রথমে বাহুর মান বের করা হয়েছে। এরপর \(\cos A\) এর সূত্রে বাহুগুলোর মান বসানো হয়েছে যেখানে \(b\) এবং \(c\) হচ্ছে \(\angle A\) এর সংলগ্ন বাহু এবং \(a\) বিপরীত বাহু।

Another Explanation (5): ```html

বৃত্তের সমীকরণ \( x^2 + y^2 = 25 \), যা একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \( O(0,0) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = 5 \)।

\( P(5,0), Q(0,5), R(-4,3) \) তিনটি বিন্দু বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত। আমাদের \( \angle PQR \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

\( \angle PQR \) নির্ণয় করার জন্য আমরা ভেক্টর পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। প্রথমে, \( \overrightarrow{QP} \) এবং \( \overrightarrow{QR} \) ভেক্টর দুটি বের করি:
\( \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} = (5,0) - (0,5) = (5, -5) \)
\( \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} = (-4,3) - (0,5) = (-4, -2) \)

এখন, \( \overrightarrow{QP} \) এবং \( \overrightarrow{QR} \) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) হলে,
\( \cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QR}}{|\overrightarrow{QP}| |\overrightarrow{QR}|} \)
\( \overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QR} = (5)(-4) + (-5)(-2) = -20 + 10 = -10 \)
\( |\overrightarrow{QP}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
\( |\overrightarrow{QR}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)

তাহলে, \( \cos{\theta} = \frac{-10}{5\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-10}{10\sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{10}} \) 🤔

বিকল্প পদ্ধতি: যেহেতু \(P(5,0)\), \(Q(0,5)\) এবং \(R(-4,3)\) তিনটি বিন্দু \( x^2 + y^2 = 25 \) বৃত্তের উপর অবস্থিত, আমরা PQ এবং QR জ্যা দুটির উপর focus করতে পারি। O কেন্দ্র থেকে জ্যা PQ এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। PQ জ্যা এর মধ্যবিন্দু হল \( (\frac{5+0}{2}, \frac{0+5}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \)। একই ভাবে QR জ্যা এর মধ্যবিন্দু হল \( (\frac{0-4}{2}, \frac{5+3}{2}) = (-2, 4) \) ।

বৃত্তের কেন্দ্র O(0,0). \( \angle PQR \) হলো পরিধিস্থ কোণ। কেন্দ্রস্থ কোণ \( \angle POR = ? \)

\(OP = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5 \)
\(OR = \sqrt{(-4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16+9} = 5 \)
\(PR = \sqrt{(-4-5)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{81+9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \)

\( \cos{\angle POR} = \frac{OP^2 + OR^2 - PR^2}{2 \cdot OP \cdot OR} = \frac{25 + 25 - 90}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{-40}{50} = -\frac{4}{5} \)

সেন্ট্রাল এঙ্গেল POR, therefore পরিধিস্থ এঙ্গেল PQR হবে তার অর্ধেক।

যদি \( \angle PQR = \theta \) হয়, তাহলে \( \angle POR = 2\theta \)

\( \cos{2\theta} = -\frac{4}{5} \)
\( 2\cos^2{\theta} - 1 = -\frac{4}{5} \)
\( 2\cos^2{\theta} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \)
\( \cos^2{\theta} = \frac{1}{10} \)
\( \cos{\theta} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} \)

এখন \( \sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \)
\( \sin{\theta} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)

\(\theta = \arctan{\frac{3}{\sqrt{10}}} / \frac{1}{\sqrt{10}} = \arctan{3} \) which is incorrect

Q বিন্দুটি P এবং R বিন্দুর মধ্যে আছে। সুতরাং, \( \angle PQR \) একটি স্থূলকোণ হবে। কারণ R বিন্দুটি P বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ৯০° এর বেশি কোণে অবস্থিত।

বৃত্তের কেন্দ্র O(0,0), OP = OQ = OR = 5 (ব্যাসার্ধ)। অতএব, OPQR একটি ঘূর্ণায়মান চতুর্ভুজ।

অতএব, \( \angle PQR = \frac{\pi}{4} \) বা 45° হবে। কিন্তু যেহেতু cos এর মান ঋণাত্মক, এটি ৯০° এর থেকে বড় হবে। \( \frac{\pi}{4} = \frac{\tau}{8} \), সুতরাং সঠিক উত্তর \( \frac{\tau}{8} \) নয়।

আসলে, \( \angle PQR = 135^\circ \). সুতরাং এটি \(\frac{3\pi}{4}\), যা \(\frac{3\tau}{8}\) এর সমান। কিন্তু উত্তরে \(\frac{\tau}{4}\) দেওয়া আছে।

\(\angle PQR = \frac{\pi}{2} + \arctan(\frac{1}{3}) \) কিন্তু উত্তর \(\frac{\tau}{4}\) , যা \(\frac{\pi}{2}\) এর সমান। তাই উত্তরটি সঠিক নয়।

```