y²=16x এবং y=4x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে -

দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \( y^2 = 16x \) এবং সরলরেখার সমীকরণ \( y = 4x \)।

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রথমে ছেদবিন্দুগুলো বের করতে হবে।

y এর মান \( y^2 = 16x \) সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\( (4x)^2 = 16x \)

\( 16x^2 = 16x \)

\( 16x^2 - 16x = 0 \)

\( 16x(x - 1) = 0 \)

সুতরাং, \( x = 0 \) অথবা \( x = 1 \)।

যখন \( x = 0 \), তখন \( y = 4(0) = 0 \)।

আবার, যখন \( x = 1 \), তখন \( y = 4(1) = 4 \)।

সুতরাং ছেদবিন্দুগুলো হলো \( (0, 0) \) এবং \( (1, 4) \)।

এখন, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন করতে হবে।

ক্ষেত্রফল, \( A = \int_{0}^{1} (\sqrt{16x} - 4x) \, dx \)

\( = \int_{0}^{1} (4\sqrt{x} - 4x) \, dx \)

\( = 4 \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) \, dx \)

\( = 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \)

\( = 4 \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1} \)

\( = 4 \left[ \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{2}(1)^2 \right) - \left( \frac{2}{3}(0)^{3/2} - \frac{1}{2}(0)^2 \right) \right] \)

\( = 4 \left[ \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right] \)

\( = 4 \left[ \frac{4 - 3}{6} \right] \)

\( = 4 \left[ \frac{1}{6} \right] \)

\( = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \( \frac{2}{3} \) বর্গ একক। 🎉