Another Explanation (5):
সমাধান:
আমাদের দেওয়া সমীকরণ হলো:
\[
9x^2 - 4y^2 + 36 = 0
\]
প্রথমে এটি সাধারণ আকারে রূপান্তর করি:
\[
9x^2 - 4y^2 = -36
\]
অথবা,
\[
\frac{9x^2}{36} - \frac{4y^2}{36} = 1
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1
\]
এটি একটি হাইপারবোলা, এর কেন্দ্র \((0,0)\), এবং এর অক্ষসমূহ হলো:
- অনুভূমিক অক্ষ ( transverse axis): \(x\)-অক্ষ, দৈর্ঘ্য \(2a\)
- উল্লম্ব অক্ষ ( conjugate axis): \(y\)-অক্ষ, দৈর্ঘ্য \(2b\)
এখানে,
\[
a^2 = 4 \Rightarrow a = 2
\]
\[
b^2 = 9 \Rightarrow b = 3
\]
অধিবৃত্তের বিবরণ:
অধিবৃত্ত (conjugate rectangle) হাইপারবোলার দ্বারাকৃত। অক্ষের উপর অবস্থিত অর্ধবৃত্তের কেন্দ্র হলো, উপকেন্দ্র।
**(i) উপকেন্দ্রের সমীকরণ:**
উপকেন্দ্?? (foci) হয় \((\pm c, 0)\), যেখানে,
\[
c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13
\]
অতএব,
\[
c = \sqrt{13}
\]
সুতরাং, উপকেন্দ্র হলো:
\[
( \pm \sqrt{13} , 0)
\]
তাই, বিবৃতিটি: "উপকেন্দ্র (0, ±√13)"—এটি ভুল, কারণ উপকেন্দ্রের \(x\)-অক্ষের মান \(\pm \sqrt{13}\), \(y\) এর মান শূন্য। সুতরাং, এটি ভুল।
**(ii) দ্বিকাক্ষের সমীকরণ:**
দ্বিকাক্ষের সমীকরণ হলো দুটি সমীকরণ:
\[
\sqrt{13} y = \pm 9
\]
অর্থাৎ,
\[
y = \pm \frac{9}{\sqrt{13}}
\]
এটি উপকেন্দ্রের \(y\)-অক্ষের সমীকরণ নয়। বরং, এই সমীকরণ দুটি রেখা যা অক্ষের উপর অবস্থিত। এই সমীকরণ দিয়ে মূল অক্ষের সাথে সম্পর্কিত নয়।
তবে, যখন বলা হয় "দ্বিকাক্ষের সমীকরণ", এর মানে হলো দ্বিকাক্ষের রেখার সমীকরণ। আমাদের দ্বিকাক্ষের রেখাগুলি হলো:
\[
\frac{y}{b} = \pm \frac{x}{a}
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{y}{3} = \pm \frac{x}{2}
\]
অথবা,
\[
y = \pm \frac{3}{2} x
\]
এটি দ্বিকাক্ষের রেখার সমীকরণ।
তাই, এখানে \( \sqrt{13} y = \pm 9 \) সমীকরণটি সঠিক নয়। এটি সম্ভবত ভুল বা অন্য কোনও সম্পর্কের জন্য ব্যবহৃত।
**(iii) অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য:**
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষ বা conjugate axis এর দৈর্ঘ্য হলো \(2b = 2 \times 3 = 6\), যা সঠিক।
---
সারাংশ:
- উপকেন্দ্রের সমীকরণ \(( \pm \sqrt{13} , 0)\) হয়, তাই "উপকেন্দ্র ( 0, ±√13 )" ভুল।
- দ্বিকাক্ষের সমীকরণ \(\sqrt{13} y = \pm 9\) নয়, বরং দ্বিকাক্ষের রেখাগুলির সমীকরণ হলো \( y = \pm \frac{3}{2} x \), তাই এটি ভুল।
- অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য সত্যিই 6, তাই এটি সঠিক।
উত্তর অনুযায়ী, **"i ও ii"** ভুল। তবে আপনার উত্তরে "i ও ii" দেওয়া হয়েছে। সম্ভবত প্রশ্নের উত্তর হিসেবে ভুল বোঝানো হয়েছে।
### **সঠিক উত্তর:**
**শ্রেণীবিন্যাস অনুযায়ী**, দ্বিকাক্ষের সমীকরণ ভুল এবং উপকেন্দ্রের সমীকরণ ভুল। তবে, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য সঠিক।
**অতএব, উপসংহার:**
**উত্তর: "i ও ii"** ভুল। তবে, প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তর "i ও ii" আসলে ভুল। তবে, যেহেতু প্রশ্নের উত্তরে "i ও ii" দেওয়া হয়েছে, সেটি সম্ভবত ভুল বা অন্যভাবে বোঝানো হয়েছে।
---
উপসংহার:
- উপকেন্দ্রের সমীকরণ: \((\pm \sqrt{13}, 0)\)
- দ্বিকাক্ষের সমীকরণ: \(y = \pm \frac{3}{2} x\)
- অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য: 6
সুতরাং, **উত্তর: "i ও ii"** (অর্থাৎ প্রথম দুইটি বিবৃতি) ভুল।
