k এর কোন মানের জন্য (x-y+3)^2+(kx+2)(y-1)=0 সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে?

বৃত্তের সমীকরণ হওয়ার শর্ত:

1. \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগ সমান হতে হবে।
2. \(xy\) এর সহগ 0 হতে হবে।

প্রদত্ত সমীকরণটি হল: \((x-y+3)^2+(kx+2)(y-1)=0\)

এটিকে বিস্তার করে পাই:

\(x^2 + y^2 + 9 - 2xy + 6x - 6y + kxy - kx + 2y - 2 = 0\)

\(\implies x^2 + y^2 + (6-k)x + (-6+2)y - 2xy + kxy + 7 = 0\)

\(\implies x^2 + y^2 + (6-k)x - 4y + (k-2)xy + 7 = 0\)

বৃত্ত হওয়ার জন্য, \(xy\) এর সহগ 0 হতে হবে।

সুতরাং, \(k - 2 = 0\)

\(\implies k = 2\)

এখন, \(k = 2\) হলে, সমীকরণটি হবে:

\(x^2 + y^2 + (6-2)x - 4y + 7 = 0\)

\(\implies x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7 = 0\)

\(x^2\) এর সহগ = 1 এবং \(y^2\) এর সহগ = 1। সুতরাং, \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগ সমান।

অতএব, \(k = 2\) এর জন্য প্রদত্ত সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে। 🎉

সুতরাং, উত্তর: 2।