y = x + 2 সরলরেখাটি \( x^2 + y^2 = 16 \) বৃত্তে যে জ্যা উৎপন্ন করে সেটির দৈর্ঘ্য কত?
SUSTUnit-Bউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রবৃত্তজ্যা এর সমীকরণ (Topic Practice)SUST - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
C.
2\( \sqrt{14} \)
Explanation: Solve: বৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) থেকে \(y = x + 2 \, \text{বা,} \, x - y + 2 = 0\) রেখার লম্ব দূরত্ব
\[
= \frac{|0 - 0 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
\]
\[
\therefore \text{জ্যা এর দৈর্ঘ্য} = 2\sqrt{4^2 - (\sqrt{2})^2} = 2 \times \sqrt{14}
\]
Ans. (C)
Another Explanation (5): ```html
বৃত্তে সরলরেখার জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়
y = x + 2 সরলরেখাটি \( x^2 + y^2 = 16 \) বৃত্তে যে জ্যা উৎপন্ন করে সেটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা হলো:
-
বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 = 16 \)
এটি \( x^2 + y^2 = r^2 \) আকারের বৃত্ত, যেখানে কেন্দ্র (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{16} = 4 \)। 😃 - সরলরেখার সমীকরণ: \( y = x + 2 \) 😊
-
ছেদ বিন্দু নির্ণয়:
সরলরেখার সমীকরণ বৃত্তের সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\( x^2 + (x + 2)^2 = 16 \)
\( x^2 + x^2 + 4x + 4 = 16 \)
\( 2x^2 + 4x - 12 = 0 \)
\( x^2 + 2x - 6 = 0 \) -
x-এর মান নির্ণয়:
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সুতরাং, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) সূত্র ব্যবহার করে,
\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \)
\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} \)
\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} \)
\( x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{2} \)
\( x = -1 \pm \sqrt{7} \) -
y-এর মান নির্ণয়:
\( x_1 = -1 + \sqrt{7} \) হলে, \( y_1 = x_1 + 2 = -1 + \sqrt{7} + 2 = 1 + \sqrt{7} \)
\( x_2 = -1 - \sqrt{7} \) হলে, \( y_2 = x_2 + 2 = -1 - \sqrt{7} + 2 = 1 - \sqrt{7} \) - ছেদ বিন্দুগুলো: \( A(-1 + \sqrt{7}, 1 + \sqrt{7}) \) এবং \( B(-1 - \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}) \) 🎉
-
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
\( AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( AB = \sqrt{((-1 - \sqrt{7}) - (-1 + \sqrt{7}))^2 + ((1 - \sqrt{7}) - (1 + \sqrt{7}))^2} \)
\( AB = \sqrt{(-2\sqrt{7})^2 + (-2\sqrt{7})^2} \)
\( AB = \sqrt{28 + 28} \)
\( AB = \sqrt{56} \)
\( AB = \sqrt{4 \cdot 14} \)
\( AB = 2\sqrt{14} \)
অতএব, জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \( 2\sqrt{14} \) একক। 💖
```