\(|\vec{A} \cdot \vec{B}| = |\vec{A} \times \vec{B}|\) হলে \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) এর মধ্যকার কোণ কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(|\vec{A} \cdot \vec{B}| = |\vec{A} \times \vec{B}|\) হলে \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) এর মধ্যকার কোণ কত? উত্তর: \( \frac{\pi}{4} \) সমাধান: ধরা যাক, \(\theta\) হলো \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) এর মধ্যে কোণ। তাহলে, \[ |\vec{A} \cdot \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta \] এবং, \[ |\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta \] প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ |\vec{A} \cdot \vec{B}| = |\vec{A} \times \vec{B}| \] অর্থাৎ, \[ |\vec{A}| |\vec{B}| |\cos \theta| = |\vec{A}| |\vec{B}| |\sin \theta| \] যেহেতু \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মান শূন্য নয় (অর্থাৎ, তাদের মান শূন্য নয়), তাই উভয় পাশে \( |\vec{A}| |\vec{B}| \) ভাগ করলে, \[ |\cos \theta| = |\sin \theta| \] অর্থাৎ, \[ \cos \theta = \pm \sin \theta \] এখানে, \(\cos \theta = \sin \theta\) হলে, \[ \tan \theta = 1 \] এবং \(\theta\) এর মান হবে, \[ \theta = \frac{\pi}{4} \] অথবা, \(\cos \theta = - \sin \theta\) হলে, \[ \tan \theta = -1 \] এবং, \(\theta\) এর মান হবে, \[ \theta = \frac{3\pi}{4} \] তবে, যেহেতু মূল প্রশ্নে মূল কোণের মান খুঁজে বের করতে বলা হয়েছে, এবং সাধারণত কোণের মান 0 থেকে \(\pi\) এর মধ্যে বিবেচনা করা হয়, তাহলে সবচেয়ে সাধারণ ও প্রাথমিক সমাধান হলো, \[ \boxed{\frac{\pi}{4}} \] অর্থাৎ, \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) এর মধ্যে কোণ হলো \(\frac{\pi}{4}\)।