cosecθ+cotθ=5/6 হলে, cosecθ-cotθ এর মান -
PUSTUnit-CSet-1উচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসংযুক্ত কোণের অনুপাত (Topic Practice)PUST - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
6/5
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\csc \theta + \cot \theta = \frac{5}{6}\)
আমরা জানি:
- \(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
- \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
তাহলে, \(\csc \theta + \cot \theta = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}\)
এখন, ধরি:
\[ A = \csc \theta + \cot \theta = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{5}{6} \]এবং, আমরা খুঁজছি:
\[ \csc \theta - \cot \theta = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \]ধাপ ১: \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\) নির্ণয় করা
\[ \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{5}{6} \Rightarrow 6(1 + \cos \theta) = 5 \sin \theta \] \[ 6 + 6 \cos \theta = 5 \sin \theta \] এখন, \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\) এর মধ্যে সম্পর্ক ব্যবহার করি: \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] তাই, এখানে আমরা \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\) এর মান নির্ণয় করতে পারি। প্রথমে, ধরি: \[ x = \cos \theta \] \[ \sin \theta = \sqrt{1 - x^2} \] তাহলে, \[ 6 + 6x = 5 \sqrt{1 - x^2} \] অতএব, \[ (6 + 6x)^2 = 25 (1 - x^2) \] বর্গ করি: \[ 36 + 72x + 36x^2 = 25 - 25x^2 \] সাম্যবস্থাপনা: \[ 36 + 72x + 36x^2 + 25x^2 = 25 \] \[ 36 + 72x + 61x^2 = 25 \] উভয় পাশে 25 কমাই: \[ 36 + 72x + 61x^2 - 25 = 0 \] \[ 11 + 72x + 61x^2 = 0 \] অথবা, \[ 61x^2 + 72x + 11 = 0 \] এটি একটি দ্বৈতবীজন সমাধান করি: \[ x = \frac{-72 \pm \sqrt{72^2 - 4 \times 61 \times 11}}{2 \times 61} \] গণনা করি: \[ \Delta = 72^2 - 4 \times 61 \times 11 = 5184 - 2684 = 2500 \] অতএব, \[ x = \frac{-72 \pm \sqrt{2500}}{122} = \frac{-72 \pm 50}{122} \] দুটি মান: 1. \(x = \frac{-72 + 50}{122} = \frac{-22}{122} = -\frac{11}{61}\) 2. \(x = \frac{-72 - 50}{122} = \frac{-122}{122} = -1\) যদি \(\cos \theta = -1\), তাহলে \(\sin \theta = 0\), যা সমীকরণের জন্য মানানসই নয় কারণ তখন \(\csc \theta\) অজানা হবে। সুতরাং, উপযুক্ত মান হচ্ছে: \[ \cos \theta = -\frac{11}{61} \] এখন, \(\sin \theta\) নির্ণয় করি: \[ \sin \theta = \sqrt{1 - \left(-\frac{11}{61}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{121}{3721}} = \sqrt{\frac{3721 - 121}{3721}} = \sqrt{\frac{3600}{3721}} = \frac{60}{61} \] এখন, \(\csc \theta\) ও \(\cot \theta\) নির্ণয় করি: \[ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{\frac{60}{61}} = \frac{61}{60} \] \[ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{-\frac{11}{61}}{\frac{60}{61}} = -\frac{11}{60} \]শেষে, \(\csc \theta - \cot \theta\) এর মান নির্ণয় করি:
\[ \csc \theta - \cot \theta = \frac{61}{60} - \left(-\frac{11}{60}\right) = \frac{61}{60} + \frac{11}{60} = \frac{72}{60} = \frac{6}{5} \]উত্তর:
6/5