যদি ABC ত্রিভুজে cosA=sinB-cosC হয়, তবে এটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

🤔 প্রশ্নানুসারে, \( \cos A = \sin B - \cos C \)

আমরা জানি, \( A + B + C = 180^\circ \) বা, \( A = 180^\circ - (B+C) \)

সুতরাং, \( \cos A = \cos (180^\circ - (B+C)) = - \cos (B+C) \)

অতএব, \( - \cos (B+C) = \sin B - \cos C \)

\( \implies - (\cos B \cos C - \sin B \sin C) = \sin B - \cos C \)

\( \implies - \cos B \cos C + \sin B \sin C = \sin B - \cos C \)

\( \implies \cos C - \cos B \cos C = \sin B - \sin B \sin C \)

\( \implies \cos C (1 - \cos B) = \sin B (1 - \sin C) \)

এখন, \( \cos A = \sin B - \cos C \) কে লেখা যায়,

\( \cos A + \cos C = \sin B \)

আমরা জানি, \( \cos C = \sin (90^\circ - C) \)

সুতরাং, \( \cos A + \sin (90^\circ - C) = \sin B \)

\( \implies 2 \sin \frac{A + 90^\circ - C}{2} \cos \frac{A - 90^\circ + C}{2} = \sin B \)

আবার, \( A = 180^\circ - (B+C) \) বসালে,

\( \cos A + \cos C = \sin B \)

\( \implies \cos A + \cos C - \sin B = 0 \)

\( \implies \cos A + \cos C - \sin (A+C) = 0 \)

যদি \(A = 90^\circ\) হয়, তবে \( \cos 90^\circ = \sin B - \cos C \)

\( \implies 0 = \sin B - \cos C \)

\( \implies \sin B = \cos C \)

\( \implies \sin B = \sin (90^\circ - C) \)

\( \implies B = 90^\circ - C \)

\( \implies B + C = 90^\circ \)

সুতরাং, \( A + B + C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) 🥳

অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী। ✅