intxlnxdx=?

সমাধান: \( \int x \ln x \, dx \) নির্ণয় করতে হবে।

আমরা এখানে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by parts) পদ্ধতি ব্যবহার করব। এই পদ্ধতিতে, \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \) হয়।

ধরি, \( u = \ln x \) এবং \( dv = x \, dx \)

তাহলে, \( du = \frac{1}{x} \, dx \) এবং \( v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \)

এখন, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস এর সূত্র অনুযায়ী:

\( \int x \ln x \, dx = \int u \, dv = uv - \int v \, du \)

\( = (\ln x) \left(\frac{x^2}{2}\right) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \)

\( = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx \)

\( = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C \)

\( = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 + C \)

সুতরাং, \( \int x \ln x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 + C \) 🥳