3x2 + 4y2 + 12x - 18y + k = 0 বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করলে k-এর মান কত?
বৃত্তের সমীকরণ এবং k এর মান নির্ণয় 🧐
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
\(3x^2 + 4y^2 + 12x - 18y + k = 0\)বৃত্তের সমীকরণটিকে সাধারণ আকারে প্রকাশ করার জন্য, \(x^2\) এবং \(y^2\) এর সহগ 1 করতে হবে।
সমীকরণটিকে 3 দিয়ে ভাগ করে পাই:
\(x^2 + \frac{4}{3}y^2 + 4x - 6y + \frac{k}{3} = 0\)এখানে \(x^2\) এবং \(y^2\) এর সহগ ভিন্ন হওয়ার কারণে এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ। কিন্তু প্রশ্নানুসারে এটি একটি বৃত্ত। তাই, প্রশ্নটি ভুল আছে। 🤔 যদি প্রশ্নটি এমন হয়:
\(3x^2 + 3y^2 + 12x - 18y + k = 0\) বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করলে k-এর মান কত?
তাহলে সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:
বৃত্তের সমীকরণ:
\(3x^2 + 3y^2 + 12x - 18y + k = 0\)উভয় পক্ষকে 3 দিয়ে ভাগ করে পাই:
\(x^2 + y^2 + 4x - 6y + \frac{k}{3} = 0\)এটিকে সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:
\(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\)এখানে, \(2g = 4 \Rightarrow g = 2\), \(2f = -6 \Rightarrow f = -3\) এবং \(c = \frac{k}{3}\)
বৃত্তের কেন্দ্র \( (-g, -f) = (-2, 3)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}\)
\(r = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - \frac{k}{3}} = \sqrt{4 + 9 - \frac{k}{3}} = \sqrt{13 - \frac{k}{3}}\)
যেহেতু বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্রের y-স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
সুতরাং, \(r = |3| = 3\)
তাহলে, \(3 = \sqrt{13 - \frac{k}{3}}\)
বর্গ করে পাই,
\(9 = 13 - \frac{k}{3}\)\(\Rightarrow \frac{k}{3} = 13 - 9\)
\(\Rightarrow \frac{k}{3} = 4\)
\(\Rightarrow k = 12\)
অতএব, k এর মান 12। 🎉
```