(1,-1) বিন্দু থেকে 2x^2+2y^2-x+3y-1=0 স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

Explanation:

Another Explanation (5): (1,-1) বিন্দু থেকে \( 2x^2+2y^2-x+3y-1=0 \) বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়: বৃত্তের সমীকরণ: \( 2x^2+2y^2-x+3y-1=0 \) বা, \( x^2+y^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}=0 \) \( (x_1, y_1) \) = (1, -1) বিন্দু থেকে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( L \) হলে, \( L = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 -\frac{1}{2}x_1+\frac{3}{2}y_1-\frac{1}{2}} \) মান বসিয়ে পাই, \( L = \sqrt{1^2 + (-1)^2 -\frac{1}{2}(1)+\frac{3}{2}(-1)-\frac{1}{2}} \) \( L = \sqrt{1 + 1 -\frac{1}{2}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} \) \( L = \sqrt{2 -\frac{5}{2}} \) \( L = \sqrt{\frac{4-5}{2}} \) \( L = \sqrt{\frac{-1}{2}} \) 😥 এখানে একটি সমস্যা আছে, স্???র্শকের দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ করি: \( x^2 - \frac{1}{2}x + y^2 + \frac{3}{2}y = \frac{1}{2} \) \( (x - \frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2 + (y + \frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{2} \) \( (x - \frac{1}{4})^2 + (y + \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{8 + 1 + 9}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} \) সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (\frac{1}{4}, -\frac{3}{4}) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} \) এখন, (1, -1) বিন্দু থেকে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( L \) হবে: \( L = \sqrt{(1 - \frac{1}{4})^2 + (-1 + \frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{2\sqrt{2}})^2} \) \( L = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8}} \) \( L = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{1}{16} - \frac{18}{16}} \) \( L = \sqrt{\frac{10 - 18}{16}} \) \( L = \sqrt{\frac{-8}{16}} = \sqrt{-\frac{1}{2}} \) 😥 এখানেও সেই একই সমস্যা। প্রদত্ত অপশনে \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) আছে। সম্ভবত প্রশ্নটিতে সামান্য ত্রুটি আছে। যদি সমীকরণটি \( 2x^2+2y^2-x+3y+1=0 \) হতো, তাহলে: \( L = \sqrt{1^2 + (-1)^2 -\frac{1}{2}(1)+\frac{3}{2}(-1)+\frac{1}{2}} \) \( L = \sqrt{1 + 1 -\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}} \) \( L = \sqrt{2 -\frac{3}{2}} \) \( L = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) 😊 অতএব, \( 2x^2+2y^2-x+3y+1=0 \) হলে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)