Another Explanation (5):
প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান
প্রদত্ত রেখা:
\( 4x + 3y = a \) ---- (1)
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
\( x^2 + y^2 - 4x = 0 \)
প্রথমে, বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি।
বৃত্তের সমীকরণ সম্পাদনা:
\[
x^2 + y^2 - 4x = 0
\]
এখানে, সম্পূর্ণ বৃত্তের সমীকরণে যোগ ও বিয়োগ করি যাতে কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ জানা যায়।
\[
x^2 - 4x + y^2 = 0
\]
\[
x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4
\]
\[
(x - 2)^2 + y^2 = 4
\]
অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র হলো \( (2, 0) \) এবং ব্যাসার্ধ হলো \( r = 2 \)।
---
প্রশ্নের শর্ত:
রেখাটি \( 4x + 3y = a \) এই রেখাটি বৃত্তের উপর বা স্পর্শ করে (স্পর্শ করলে), অর্থাৎ রেখা বৃত্তের টানুল বা স্পর্শরেখা।
রেখা ও বৃত্তের স্পর্শের জন্য, দুভার্ষিক সমীকরণের জন্য নির্ণয় করি:
\[
\text{রেখা: } 4x + 3y = a \Rightarrow 3y = a - 4x \Rightarrow y = \frac{a - 4x}{3}
\]
অথবা, সরাসরি রেখার সাধারণ সমীকরণ ব্যবহার করে, রেখা ও বৃত্তের দূরত্ব (d) বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হলে, রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে।
দূরত্ব সূত্র:
\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
যেখানে, রেখার সমীকরণ হলো \( 4x + 3y - a = 0 \),
অর্থাৎ, \( A=4, B=3, C=-a \),
বৃত্তের কেন্দ্র \((x_0, y_0) = (2, 0)\)।
তাই,
\[
d = \frac{|4 \times 2 + 3 \times 0 - a|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|8 - a|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|8 - a|}{5}
\]
যেহেতু রেখাটি বৃত্তের স্পর্শ করে, তাই:
\[
d = r = 2
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{|8 - a|}{5} = 2
\]
\[
|8 - a| = 10
\]
অতএব, দুটি সমাধান:
\[
8 - a = 10 \Rightarrow a = -2
\]
অথবা,
\[
8 - a = -10 \Rightarrow a = 18
\]
এখানে, \(a\) এর মান হতে পারে \(-2\) বা ১৮।
---
উত্তর বিশ্লেষণ:
প্রশ্নের অপশন অনুযায়ী,
- (i) বৃত্তের কেন্দ্র \((2, 0)\) — **সঠিক**।
- (ii) বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪ — **ত্রুটি**, কারণ ব্যাসার্ধ হলো ২, not ৪।
- (iii) \(a\) এর মান ১৮ অথবা -২ — **সঠিক**।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো: **"i ও iii"**।
