3x+2y+k=0 রেখাটি  x²+y²-8x-2y+4=0 বৃত্তকে স্পর্শ করবে নিচের k এর কোন মানের জন্য?

বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত

বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 - 8x - 2y + 4 = 0 \)

এই বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, k) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r \) নির্ণয় করি। সাধারণ সমীকরণ \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) এর সাথে তুলনা করে পাই,

\( 2g = -8 \), সুতরাং \( g = -4 \)

\( 2f = -2 \), সুতরাং \( f = -1 \)

\( c = 4 \)

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, k) = (-g, -f) = (4, 1) \)

এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 - 4} = \sqrt{16 + 1 - 4} = \sqrt{13} \)

রেখার সমীকরণ: \( 3x + 2y + k = 0 \)

বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত হলো, কেন্দ্র থেকে রেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান।

কেন্দ্র \( (4, 1) \) থেকে \( 3x + 2y + k = 0 \) রেখার লম্ব দূরত্ব,

\( d = \frac{|3(4) + 2(1) + k|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|12 + 2 + k|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{|14 + k|}{\sqrt{13}} \)

যেহেতু রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই \( d = r \)

\( \frac{|14 + k|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13} \)

\( |14 + k| = 13 \)

সুতরাং, \( 14 + k = 13 \) অথবা \( 14 + k = -13 \)

যদি \( 14 + k = 13 \) হয়, তবে \( k = 13 - 14 = -1 \)

যদি \( 14 + k = -13 \) হয়, তবে \( k = -13 - 14 = -27 \)

k এর সম্ভাব্য মান: -1, -27

প্রশ্নানুসারে, k এর মান -1।